Производная e^-x-(sin(e)^-x)*(cos(e)^-x)

 -x      -x       -x   
E   - sin  (E)*cos  (E)

1. дифференцируем $- \sin^{- x}{\left (e \right )} \cos^{- x}{\left (e \right )} + e^{- x}$ почленно:

   1. Заменим $u = - x$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате последовательности правил:

      $- e^{- x}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

         $f{\left (x \right )} = 1$ и $g{\left (x \right )} = \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. Применяем правило производной умножения:

            $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

            $f{\left (x \right )} = \cos^{x}{\left (e \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

            1. $\frac{d}{d x} \cos^{x}{\left (e \right )} = \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right) \cos^{x}{\left (e \right )}$

            $g{\left (x \right )} = \sin^{x}{\left (e \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

            1. $\frac{d}{d x} \sin^{x}{\left (e \right )} = \log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{x}{\left (e \right )}$

            В результате: $\log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )} + \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right) \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\left(- \log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )} - \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right) \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )}\right) \sin^{- 2 x}{\left (e \right )} \cos^{- 2 x}{\left (e \right )}$

      Таким образом, в результате: $- \left(- \log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )} - \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right) \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )}\right) \sin^{- 2 x}{\left (e \right )} \cos^{- 2 x}{\left (e \right )}$

   В результате: $- \left(- \log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )} - \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right) \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )}\right) \sin^{- 2 x}{\left (e \right )} \cos^{- 2 x}{\left (e \right )} - e^{- x}$

2. Теперь упростим:

   $\left(\frac{1}{e \sin{\left (e \right )}}\right)^{x} \left(- \left(\sin{\left (e \right )} \cos{\left (e \right )}\right)^{x} + e^{x} \log{\left (- \sin{\left (e \right )} \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi e^{x}\right) \cos^{- x}{\left (e \right )}$

Ответ:

$\left(\frac{1}{e \sin{\left (e \right )}}\right)^{x} \left(- \left(\sin{\left (e \right )} \cos{\left (e \right )}\right)^{x} + e^{x} \log{\left (- \sin{\left (e \right )} \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi e^{x}\right) \cos^{- x}{\left (e \right )}$

   -x      -x       -x                     -x       -x                          
- e   + cos  (E)*sin  (E)*log(sin(E)) - cos  (E)*sin  (E)*(-log(-cos(E)) - pi*I)

                       2    -x       -x         -x       2            -x           -x       -x                                         -x
- (pi*I + log(-cos(E))) *cos  (E)*sin  (E) - cos  (E)*log (sin(E))*sin  (E) - 2*cos  (E)*sin  (E)*(pi*I + log(-cos(E)))*log(sin(E)) + e  

   -x                        3    -x       -x         -x       3            -x                             2    -x       -x                       -x       2            -x                         
- e   + (pi*I + log(-cos(E))) *cos  (E)*sin  (E) + cos  (E)*log (sin(E))*sin  (E) + 3*(pi*I + log(-cos(E))) *cos  (E)*sin  (E)*log(sin(E)) + 3*cos  (E)*log (sin(E))*sin  (E)*(pi*I + log(-cos(E)))