Производная e^-x-(sin(e)^-x)*(cos(e)^-x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
 -x      -x       -x   
E   - sin  (E)*cos  (E)
sinx(e)cosx(e)+ex- \sin^{- x}{\left (e \right )} \cos^{- x}{\left (e \right )} + e^{- x}
Подробное решение
  1. дифференцируем sinx(e)cosx(e)+ex- \sin^{- x}{\left (e \right )} \cos^{- x}{\left (e \right )} + e^{- x} почленно:

    1. Заменим u=xu = - x.

    2. Производная eue^{u} само оно.

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(x)\frac{d}{d x}\left(- x\right):

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: xx получим 11

        Таким образом, в результате: 1-1

      В результате последовательности правил:

      ex- e^{- x}

    4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применим правило производной частного:

        ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

        f(x)=1f{\left (x \right )} = 1 и g(x)=sinx(e)cosx(e)g{\left (x \right )} = \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )}.

        Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

        1. Производная постоянной 11 равна нулю.

        Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

        1. Применяем правило производной умножения:

          ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

          f(x)=cosx(e)f{\left (x \right )} = \cos^{x}{\left (e \right )}; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

          1. ddxcosx(e)=(log(cos(e))+iπ)cosx(e)\frac{d}{d x} \cos^{x}{\left (e \right )} = \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right) \cos^{x}{\left (e \right )}

          g(x)=sinx(e)g{\left (x \right )} = \sin^{x}{\left (e \right )}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

          1. ddxsinx(e)=log(sin(e))sinx(e)\frac{d}{d x} \sin^{x}{\left (e \right )} = \log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{x}{\left (e \right )}

          В результате: log(sin(e))sinx(e)cosx(e)+(log(cos(e))+iπ)sinx(e)cosx(e)\log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )} + \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right) \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )}

        Теперь применим правило производной деления:

        (log(sin(e))sinx(e)cosx(e)(log(cos(e))+iπ)sinx(e)cosx(e))sin2x(e)cos2x(e)\left(- \log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )} - \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right) \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )}\right) \sin^{- 2 x}{\left (e \right )} \cos^{- 2 x}{\left (e \right )}

      Таким образом, в результате: (log(sin(e))sinx(e)cosx(e)(log(cos(e))+iπ)sinx(e)cosx(e))sin2x(e)cos2x(e)- \left(- \log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )} - \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right) \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )}\right) \sin^{- 2 x}{\left (e \right )} \cos^{- 2 x}{\left (e \right )}

    В результате: (log(sin(e))sinx(e)cosx(e)(log(cos(e))+iπ)sinx(e)cosx(e))sin2x(e)cos2x(e)ex- \left(- \log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )} - \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right) \sin^{x}{\left (e \right )} \cos^{x}{\left (e \right )}\right) \sin^{- 2 x}{\left (e \right )} \cos^{- 2 x}{\left (e \right )} - e^{- x}

  2. Теперь упростим:

    (1esin(e))x((sin(e)cos(e))x+exlog(sin(e)cos(e))+iπex)cosx(e)\left(\frac{1}{e \sin{\left (e \right )}}\right)^{x} \left(- \left(\sin{\left (e \right )} \cos{\left (e \right )}\right)^{x} + e^{x} \log{\left (- \sin{\left (e \right )} \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi e^{x}\right) \cos^{- x}{\left (e \right )}


Ответ:

(1esin(e))x((sin(e)cos(e))x+exlog(sin(e)cos(e))+iπex)cosx(e)\left(\frac{1}{e \sin{\left (e \right )}}\right)^{x} \left(- \left(\sin{\left (e \right )} \cos{\left (e \right )}\right)^{x} + e^{x} \log{\left (- \sin{\left (e \right )} \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi e^{x}\right) \cos^{- x}{\left (e \right )}

График
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Первая производная [src]
   -x      -x       -x                     -x       -x                          
- e   + cos  (E)*sin  (E)*log(sin(E)) - cos  (E)*sin  (E)*(-log(-cos(E)) - pi*I)
log(sin(e))sinx(e)cosx(e)(log(cos(e))iπ)sinx(e)cosx(e)ex\log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{- x}{\left (e \right )} \cos^{- x}{\left (e \right )} - \left(- \log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} - i \pi\right) \sin^{- x}{\left (e \right )} \cos^{- x}{\left (e \right )} - e^{- x}
Вторая производная [src]
                       2    -x       -x         -x       2            -x           -x       -x                                         -x
- (pi*I + log(-cos(E))) *cos  (E)*sin  (E) - cos  (E)*log (sin(E))*sin  (E) - 2*cos  (E)*sin  (E)*(pi*I + log(-cos(E)))*log(sin(E)) + e  
log2(sin(e))sinx(e)cosx(e)(log(cos(e))+iπ)2sinx(e)cosx(e)2(log(cos(e))+iπ)log(sin(e))sinx(e)cosx(e)+ex- \log^{2}{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{- x}{\left (e \right )} \cos^{- x}{\left (e \right )} - \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right)^{2} \sin^{- x}{\left (e \right )} \cos^{- x}{\left (e \right )} - 2 \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right) \log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{- x}{\left (e \right )} \cos^{- x}{\left (e \right )} + e^{- x}
Третья производная [src]
   -x                        3    -x       -x         -x       3            -x                             2    -x       -x                       -x       2            -x                         
- e   + (pi*I + log(-cos(E))) *cos  (E)*sin  (E) + cos  (E)*log (sin(E))*sin  (E) + 3*(pi*I + log(-cos(E))) *cos  (E)*sin  (E)*log(sin(E)) + 3*cos  (E)*log (sin(E))*sin  (E)*(pi*I + log(-cos(E)))
log3(sin(e))sinx(e)cosx(e)+(log(cos(e))+iπ)3sinx(e)cosx(e)+3(log(cos(e))+iπ)2log(sin(e))sinx(e)cosx(e)+3(log(cos(e))+iπ)log2(sin(e))sinx(e)cosx(e)ex\log^{3}{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{- x}{\left (e \right )} \cos^{- x}{\left (e \right )} + \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right)^{3} \sin^{- x}{\left (e \right )} \cos^{- x}{\left (e \right )} + 3 \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right)^{2} \log{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{- x}{\left (e \right )} \cos^{- x}{\left (e \right )} + 3 \left(\log{\left (- \cos{\left (e \right )} \right )} + i \pi\right) \log^{2}{\left (\sin{\left (e \right )} \right )} \sin^{- x}{\left (e \right )} \cos^{- x}{\left (e \right )} - e^{- x}
График
Производная e^-x-(sin(e)^-x)*(cos(e)^-x) /media/krcore-image-pods/4/0d/b92a8e26c4df39a57f5df2178fff6.png