Производная (sqrt(sin(3*x)))^3

            3
  __________ 
\/ sin(3*x)  

1. Заменим $u = \sqrt{\sin{\left (3 x \right )}}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{\sin{\left (3 x \right )}}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (3 x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (3 x \right )}$:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $3 \cos{\left (3 x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{3 \cos{\left (3 x \right )}}{2 \sqrt{\sin{\left (3 x \right )}}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{9}{2} \sqrt{\sin{\left (3 x \right )}} \cos{\left (3 x \right )}$

Ответ:

$\frac{9}{2} \sqrt{\sin{\left (3 x \right )}} \cos{\left (3 x \right )}$

     3/2              
9*sin   (3*x)*cos(3*x)
----------------------
      2*sin(3*x)      

   /                      2       \
   |       3/2         cos (3*x)  |
27*|- 2*sin   (3*x) + ------------|
   |                    __________|
   \                  \/ sin(3*x) /
-----------------------------------
                 4                 

    /                      2      \         
    |     __________    cos (3*x) |         
-81*|10*\/ sin(3*x)  + -----------|*cos(3*x)
    |                     3/2     |         
    \                  sin   (3*x)/         
--------------------------------------------
                     8