Производная (sqrt(sin(3*x)))^3

Вы ввели

            3
  __________ 
\/ sin(3*x)  

$$\left(\sqrt{\sin{\left(3 x \right)}}\right)^{3}$$

  /            3\
d |  __________ |
--\\/ sin(3*x)  /
dx               

$$\frac{d}{d x} \left(\sqrt{\sin{\left(3 x \right)}}\right)^{3}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt{\sin{\left(3 x \right)}}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{\sin{\left(3 x \right)}}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)}$:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(3 x \right)}}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{9 \sqrt{\sin{\left(3 x \right)}} \cos{\left(3 x \right)}}{2}$

---

Ответ:

$\frac{9 \sqrt{\sin{\left(3 x \right)}} \cos{\left(3 x \right)}}{2}$

Первая производная

     3/2              
9*sin   (3*x)*cos(3*x)
----------------------
      2*sin(3*x)      

$$\frac{9 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{2 \sin{\left(3 x \right)}}$$

Вторая производная

   /                      2       \
   |       3/2         cos (3*x)  |
27*|- 2*sin   (3*x) + ------------|
   |                    __________|
   \                  \/ sin(3*x) /
-----------------------------------
                 4                 

$$\frac{27 \left(- 2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{\sin{\left(3 x \right)}}}\right)}{4}$$

Третья производная

    /                      2      \         
    |     __________    cos (3*x) |         
-81*|10*\/ sin(3*x)  + -----------|*cos(3*x)
    |                     3/2     |         
    \                  sin   (3*x)/         
--------------------------------------------
                     8                      

$$- \frac{81 \cdot \left(10 \sqrt{\sin{\left(3 x \right)}} + \frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)}}\right) \cos{\left(3 x \right)}}{8}$$

График