Производная e^x*sqrt(1-e^(2*x))

      __________
 x   /      2*x 
E *\/  1 - E    

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left (x \right )} = \sqrt{- e^{2 x} + 1}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = - e^{2 x} + 1$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- e^{2 x} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $- e^{2 x} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим $u = 2 x$.

            2. Производная $e^{u}$ само оно.

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $2$

               В результате последовательности правил:

               $2 e^{2 x}$

            Таким образом, в результате: $- 2 e^{2 x}$

         В результате: $- 2 e^{2 x}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{e^{2 x}}{\sqrt{- e^{2 x} + 1}}$

   В результате: $\sqrt{- e^{2 x} + 1} e^{x} - \frac{e^{3 x}}{\sqrt{- e^{2 x} + 1}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(- 2 e^{2 x} + 1\right) e^{x}}{\sqrt{- e^{2 x} + 1}}$

Ответ:

$\frac{\left(- 2 e^{2 x} + 1\right) e^{x}}{\sqrt{- e^{2 x} + 1}}$

   __________            3*x    
  /      2*x   x        e       
\/  1 - E    *e  - -------------
                      __________
                     /      2*x 
                   \/  1 - E    

/   __________         4*x              2*x   \   
|  /      2*x         e              4*e      |  x
|\/  1 - e     - ------------- - -------------|*e 
|                          3/2      __________|   
|                /     2*x\        /      2*x |   
\                \1 - e   /      \/  1 - e    /   

/   __________          2*x             4*x             6*x   \   
|  /      2*x       13*e             9*e             3*e      |  x
|\/  1 - e     - ------------- - ------------- - -------------|*e 
|                   __________             3/2             5/2|   
|                  /      2*x    /     2*x\      /     2*x\   |   
\                \/  1 - e       \1 - e   /      \1 - e   /   /