Производная e^x*sqrt(1-e^(2*x))

Вы ввели

      __________
 x   /      2*x 
e *\/  1 - e    

$$\sqrt{1 - e^{2 x}} e^{x}$$

  /      __________\
d | x   /      2*x |
--\e *\/  1 - e    /
dx                  

$$\frac{d}{d x} \sqrt{1 - e^{2 x}} e^{x}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{1 - e^{2 x}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 1 - e^{2 x}$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(1 - e^{2 x}\right)$:

      1. дифференцируем $1 - e^{2 x}$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим $u = 2 x$.

            2. Производная $e^{u}$ само оно.

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $2$

               В результате последовательности правил:

               $2 e^{2 x}$

            Таким образом, в результате: $- 2 e^{2 x}$

         В результате: $- 2 e^{2 x}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$

   В результате: $\sqrt{1 - e^{2 x}} e^{x} - \frac{e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- 2 e^{3 x} + e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$

---

Ответ:

$\frac{- 2 e^{3 x} + e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$

Первая производная

   __________            3*x    
  /      2*x   x        e       
\/  1 - e    *e  - -------------
                      __________
                     /      2*x 
                   \/  1 - e    

$$\sqrt{1 - e^{2 x}} e^{x} - \frac{e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$$

Вторая производная

/                                /        2*x  \     \   
|                                |       e     |  2*x|   
|                                |2 - ---------|*e   |   
|   __________          2*x      |          2*x|     |   
|  /      2*x        2*e         \    -1 + e   /     |  x
|\/  1 - e     - ------------- - --------------------|*e 
|                   __________         __________    |   
|                  /      2*x         /      2*x     |   
\                \/  1 - e          \/  1 - e        /   

$$\left(\sqrt{1 - e^{2 x}} - \frac{\left(2 - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} - 1}\right) e^{2 x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} - \frac{2 e^{2 x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}\right) e^{x}$$

Третья производная

/                                /         2*x          4*x   \                              \   
|                                |      6*e          3*e      |  2*x     /        2*x  \     |   
|                                |4 - --------- + ------------|*e        |       e     |  2*x|   
|                                |          2*x              2|        3*|2 - ---------|*e   |   
|   __________          2*x      |    -1 + e      /      2*x\ |          |          2*x|     |   
|  /      2*x        3*e         \                \-1 + e   / /          \    -1 + e   /     |  x
|\/  1 - e     - ------------- - ----------------------------------- - ----------------------|*e 
|                   __________                 __________                     __________     |   
|                  /      2*x                 /      2*x                     /      2*x      |   
\                \/  1 - e                  \/  1 - e                      \/  1 - e         /   

$$\left(\sqrt{1 - e^{2 x}} - \frac{3 \cdot \left(2 - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} - 1}\right) e^{2 x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} - \frac{\left(4 - \frac{6 e^{2 x}}{e^{2 x} - 1} + \frac{3 e^{4 x}}{\left(e^{2 x} - 1\right)^{2}}\right) e^{2 x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} - \frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}\right) e^{x}$$

График