Производная (tan(4*x)+5)*(4*x^2-8)^3

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

                         3
               /   2    \ 
(tan(4*x) + 5)*\4*x  - 8/ 

$$\left(4 x^{2} - 8\right)^{3} \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right)$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \tan{\left (4 x \right )} + 5$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\tan{\left (4 x \right )} + 5$ почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Заменим $u = 4 x$.

         2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(4 x\right)$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $4$

            В результате последовательности правил:

            $\frac{4}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}}$

      2. Производная постоянной $5$ равна нулю.

      В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}} \left(4 \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 4 \cos^{2}{\left (4 x \right )}\right)$

   $g{\left (x \right )} = \left(4 x^{2} - 8\right)^{3}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = 4 x^{2} - 8$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(4 x^{2} - 8\right)$:

      1. дифференцируем $4 x^{2} - 8$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            Таким образом, в результате: $8 x$

         2. Производная постоянной $-8$ равна нулю.

         В результате: $8 x$

      В результате последовательности правил:

      $24 x \left(4 x^{2} - 8\right)^{2}$

   В результате: $24 x \left(4 x^{2} - 8\right)^{2} \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) + \frac{\left(4 x^{2} - 8\right)^{3}}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}} \left(4 \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 4 \cos^{2}{\left (4 x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{2}}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}} \left(256 x^{2} + 384 x \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) \cos^{2}{\left (4 x \right )} - 512\right)$

---

Ответ:

$\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{2}}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}} \left(256 x^{2} + 384 x \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) \cos^{2}{\left (4 x \right )} - 512\right)$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

          3                                    2               
/   2    \  /         2     \        /   2    \                
\4*x  - 8/ *\4 + 4*tan (4*x)/ + 24*x*\4*x  - 8/ *(tan(4*x) + 5)

$$24 x \left(4 x^{2} - 8\right)^{2} \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) + \left(4 x^{2} - 8\right)^{3} \left(4 \tan^{2}{\left (4 x \right )} + 4\right)$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

              /                                                                2                                                          \
    /      2\ |  /      2\                      2                     /      2\  /       2     \                 /       2     \ /      2\|
128*\-2 + x /*\3*\-2 + x /*(5 + tan(4*x)) + 12*x *(5 + tan(4*x)) + 16*\-2 + x / *\1 + tan (4*x)/*tan(4*x) + 24*x*\1 + tan (4*x)/*\-2 + x //

$$128 \left(x^{2} - 2\right) \left(12 x^{2} \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) + 24 x \left(x^{2} - 2\right) \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) + 16 \left(x^{2} - 2\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \tan{\left (4 x \right )} + 3 \left(x^{2} - 2\right) \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right)\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

    /                                 2                                     2          3                                              3                                                                             2                         \
    |   3                    /      2\  /       2     \      /       2     \  /      2\        /      2\                     /      2\     2      /       2     \       2 /       2     \ /      2\        /      2\  /       2     \         |
512*\6*x *(5 + tan(4*x)) + 9*\-2 + x / *\1 + tan (4*x)/ + 16*\1 + tan (4*x)/ *\-2 + x /  + 9*x*\-2 + x /*(5 + tan(4*x)) + 32*\-2 + x / *tan (4*x)*\1 + tan (4*x)/ + 36*x *\1 + tan (4*x)/*\-2 + x / + 72*x*\-2 + x / *\1 + tan (4*x)/*tan(4*x)/

$$512 \left(6 x^{3} \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) + 36 x^{2} \left(x^{2} - 2\right) \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) + 72 x \left(x^{2} - 2\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \tan{\left (4 x \right )} + 9 x \left(x^{2} - 2\right) \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) + 16 \left(x^{2} - 2\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)^{2} + 32 \left(x^{2} - 2\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (4 x \right )} + 9 \left(x^{2} - 2\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)\right)$$

Упростить