Производная (tan(4*x)+5)*(4*x^2-8)^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                         3
               /   2    \ 
(tan(4*x) + 5)*\4*x  - 8/ 
(4x28)3(tan(4x)+5)\left(4 x^{2} - 8\right)^{3} \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right)
Подробное решение
  1. Применяем правило производной умножения:

    ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

    f(x)=tan(4x)+5f{\left (x \right )} = \tan{\left (4 x \right )} + 5; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем tan(4x)+5\tan{\left (4 x \right )} + 5 почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

        Один из способов:

        1. Заменим u=4xu = 4 x.

        2. ddutan(u)=1cos2(u)\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(4x)\frac{d}{d x}\left(4 x\right):

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: 44

          В результате последовательности правил:

          4cos2(4x)\frac{4}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}}

      2. Производная постоянной 55 равна нулю.

      В результате: 1cos2(4x)(4sin2(4x)+4cos2(4x))\frac{1}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}} \left(4 \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 4 \cos^{2}{\left (4 x \right )}\right)

    g(x)=(4x28)3g{\left (x \right )} = \left(4 x^{2} - 8\right)^{3}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=4x28u = 4 x^{2} - 8.

    2. В силу правила, применим: u3u^{3} получим 3u23 u^{2}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(4x28)\frac{d}{d x}\left(4 x^{2} - 8\right):

      1. дифференцируем 4x284 x^{2} - 8 почленно:

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: x2x^{2} получим 2x2 x

          Таким образом, в результате: 8x8 x

        2. Производная постоянной 8-8 равна нулю.

        В результате: 8x8 x

      В результате последовательности правил:

      24x(4x28)224 x \left(4 x^{2} - 8\right)^{2}

    В результате: 24x(4x28)2(tan(4x)+5)+(4x28)3cos2(4x)(4sin2(4x)+4cos2(4x))24 x \left(4 x^{2} - 8\right)^{2} \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) + \frac{\left(4 x^{2} - 8\right)^{3}}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}} \left(4 \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 4 \cos^{2}{\left (4 x \right )}\right)

  2. Теперь упростим:

    (x22)2cos2(4x)(256x2+384x(tan(4x)+5)cos2(4x)512)\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{2}}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}} \left(256 x^{2} + 384 x \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) \cos^{2}{\left (4 x \right )} - 512\right)


Ответ:

(x22)2cos2(4x)(256x2+384x(tan(4x)+5)cos2(4x)512)\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{2}}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}} \left(256 x^{2} + 384 x \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) \cos^{2}{\left (4 x \right )} - 512\right)

График
02468-8-6-4-2-1010-5000000000050000000000
Первая производная [src]
          3                                    2               
/   2    \  /         2     \        /   2    \                
\4*x  - 8/ *\4 + 4*tan (4*x)/ + 24*x*\4*x  - 8/ *(tan(4*x) + 5)
24x(4x28)2(tan(4x)+5)+(4x28)3(4tan2(4x)+4)24 x \left(4 x^{2} - 8\right)^{2} \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) + \left(4 x^{2} - 8\right)^{3} \left(4 \tan^{2}{\left (4 x \right )} + 4\right)
Вторая производная [src]
              /                                                                2                                                          \
    /      2\ |  /      2\                      2                     /      2\  /       2     \                 /       2     \ /      2\|
128*\-2 + x /*\3*\-2 + x /*(5 + tan(4*x)) + 12*x *(5 + tan(4*x)) + 16*\-2 + x / *\1 + tan (4*x)/*tan(4*x) + 24*x*\1 + tan (4*x)/*\-2 + x //
128(x22)(12x2(tan(4x)+5)+24x(x22)(tan2(4x)+1)+16(x22)2(tan2(4x)+1)tan(4x)+3(x22)(tan(4x)+5))128 \left(x^{2} - 2\right) \left(12 x^{2} \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) + 24 x \left(x^{2} - 2\right) \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) + 16 \left(x^{2} - 2\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \tan{\left (4 x \right )} + 3 \left(x^{2} - 2\right) \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right)\right)
Третья производная [src]
    /                                 2                                     2          3                                              3                                                                             2                         \
    |   3                    /      2\  /       2     \      /       2     \  /      2\        /      2\                     /      2\     2      /       2     \       2 /       2     \ /      2\        /      2\  /       2     \         |
512*\6*x *(5 + tan(4*x)) + 9*\-2 + x / *\1 + tan (4*x)/ + 16*\1 + tan (4*x)/ *\-2 + x /  + 9*x*\-2 + x /*(5 + tan(4*x)) + 32*\-2 + x / *tan (4*x)*\1 + tan (4*x)/ + 36*x *\1 + tan (4*x)/*\-2 + x / + 72*x*\-2 + x / *\1 + tan (4*x)/*tan(4*x)/
512(6x3(tan(4x)+5)+36x2(x22)(tan2(4x)+1)+72x(x22)2(tan2(4x)+1)tan(4x)+9x(x22)(tan(4x)+5)+16(x22)3(tan2(4x)+1)2+32(x22)3(tan2(4x)+1)tan2(4x)+9(x22)2(tan2(4x)+1))512 \left(6 x^{3} \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) + 36 x^{2} \left(x^{2} - 2\right) \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) + 72 x \left(x^{2} - 2\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \tan{\left (4 x \right )} + 9 x \left(x^{2} - 2\right) \left(\tan{\left (4 x \right )} + 5\right) + 16 \left(x^{2} - 2\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)^{2} + 32 \left(x^{2} - 2\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (4 x \right )} + 9 \left(x^{2} - 2\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)\right)