Производная sqrt(x^2+2*x)

Вы ввели

   __________
  /  2       
\/  x  + 2*x 

$$\sqrt{x^{2} + 2 x}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x^{2} + 2 x$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{2} + 2 x\right)$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 2 x$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате: $2 x + 2$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 x + 2}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{x + 1}{\sqrt{x \left(x + 2\right)}}$

---

Ответ:

$\frac{x + 1}{\sqrt{x \left(x + 2\right)}}$

Первая производная

    1 + x    
-------------
   __________
  /  2       
\/  x  + 2*x 

$$\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x}}$$

Вторая производная

            2
     (1 + x) 
1 - ---------
    x*(2 + x)
-------------
  ___________
\/ x*(2 + x) 

$$\frac{1 - \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}}{\sqrt{x \left(x + 2\right)}}$$

Третья производная

          /             2\
          |      (1 + x) |
3*(1 + x)*|-1 + ---------|
          \     x*(2 + x)/
--------------------------
                 3/2      
      (x*(2 + x))         

$$\frac{3}{\left(x \left(x + 2\right)\right)^{\frac{3}{2}}} \left(-1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 1\right)$$