Производная (log(sin(6*x))^(3))

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

   3          
log (sin(6*x))

$$\log^{3}{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Заменим $u = \log{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (6 x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (6 x \right )}$:

      1. Заменим $u = 6 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(6 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $6$

         В результате последовательности правил:

         $6 \cos{\left (6 x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{6 \cos{\left (6 x \right )}}{\sin{\left (6 x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{18 \log^{2}{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )}}{\sin{\left (6 x \right )}} \cos{\left (6 x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{18 \log^{2}{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )}}{\tan{\left (6 x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{18 \log^{2}{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )}}{\tan{\left (6 x \right )}}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

      2                   
18*log (sin(6*x))*cos(6*x)
--------------------------
         sin(6*x)         

$$\frac{18 \log^{2}{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )}}{\sin{\left (6 x \right )}} \cos{\left (6 x \right )}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

    /                      2           2                   \              
    |                 2*cos (6*x)   cos (6*x)*log(sin(6*x))|              
108*|-log(sin(6*x)) + ----------- - -----------------------|*log(sin(6*x))
    |                     2                   2            |              
    \                  sin (6*x)           sin (6*x)       /              

$$108 \left(- \log{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )} - \frac{\cos^{2}{\left (6 x \right )}}{\sin^{2}{\left (6 x \right )}} \log{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (6 x \right )}}{\sin^{2}{\left (6 x \right )}}\right) \log{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )}$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

     /                                      2           2         2                  2                   \         
     |   2                               cos (6*x)   cos (6*x)*log (sin(6*x))   3*cos (6*x)*log(sin(6*x))|         
1296*|log (sin(6*x)) - 3*log(sin(6*x)) + --------- + ------------------------ - -------------------------|*cos(6*x)
     |                                      2                  2                           2             |         
     \                                   sin (6*x)          sin (6*x)                   sin (6*x)        /         
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                      sin(6*x)                                                     

$$\frac{1296 \cos{\left (6 x \right )}}{\sin{\left (6 x \right )}} \left(\log^{2}{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (6 x \right )}}{\sin^{2}{\left (6 x \right )}} \log^{2}{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )} - 3 \log{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )} - \frac{3 \cos^{2}{\left (6 x \right )}}{\sin^{2}{\left (6 x \right )}} \log{\left (\sin{\left (6 x \right )} \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (6 x \right )}}{\sin^{2}{\left (6 x \right )}}\right)$$

Упростить