Производная (x^2+3)/(x^2+1)

 2    
x  + 3
------
 2    
x  + 1

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2} + 3$ и $g{\left (x \right )} = x^{2} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 3$ почленно:

      1. Производная постоянной $3$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(2 x \left(x^{2} + 1\right) - 2 x \left(x^{2} + 3\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{4 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

Ответ:

$- \frac{4 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

             / 2    \
 2*x     2*x*\x  + 3/
------ - ------------
 2                2  
x  + 1    / 2    \   
          \x  + 1/   

  /         2       2       2 /     2\\
  |    3 + x     4*x     4*x *\3 + x /|
2*|1 - ------ - ------ + -------------|
  |         2        2             2  |
  |    1 + x    1 + x      /     2\   |
  \                        \1 + x /   /
---------------------------------------
                      2                
                 1 + x                 

     /          2       2       2 /     2\\
     |     3 + x     2*x     2*x *\3 + x /|
24*x*|-1 + ------ + ------ - -------------|
     |          2        2             2  |
     |     1 + x    1 + x      /     2\   |
     \                         \1 + x /   /
-------------------------------------------
                         2                 
                 /     2\                  
                 \1 + x /