Производная (x^2+3)/(x^2+1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
 2    
x  + 3
------
 2    
x  + 1
x2+3x2+1\frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=x2+3f{\left (x \right )} = x^{2} + 3 и g(x)=x2+1g{\left (x \right )} = x^{2} + 1.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем x2+3x^{2} + 3 почленно:

      1. Производная постоянной 33 равна нулю.

      2. В силу правила, применим: x2x^{2} получим 2x2 x

      В результате: 2x2 x

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем x2+1x^{2} + 1 почленно:

      1. Производная постоянной 11 равна нулю.

      2. В силу правила, применим: x2x^{2} получим 2x2 x

      В результате: 2x2 x

    Теперь применим правило производной деления:

    1(x2+1)2(2x(x2+1)2x(x2+3))\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(2 x \left(x^{2} + 1\right) - 2 x \left(x^{2} + 3\right)\right)

  2. Теперь упростим:

    4x(x2+1)2- \frac{4 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}


Ответ:

4x(x2+1)2- \frac{4 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}

График
02468-8-6-4-2-10105-5
Первая производная [src]
             / 2    \
 2*x     2*x*\x  + 3/
------ - ------------
 2                2  
x  + 1    / 2    \   
          \x  + 1/   
2xx2+12x(x2+3)(x2+1)2\frac{2 x}{x^{2} + 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}
Вторая производная [src]
  /         2       2       2 /     2\\
  |    3 + x     4*x     4*x *\3 + x /|
2*|1 - ------ - ------ + -------------|
  |         2        2             2  |
  |    1 + x    1 + x      /     2\   |
  \                        \1 + x /   /
---------------------------------------
                      2                
                 1 + x                 
1x2+1(8x2x2+1+8x2(x2+3)(x2+1)2+22x2+6x2+1)\frac{1}{x^{2} + 1} \left(- \frac{8 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{8 x^{2} \left(x^{2} + 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 2 - \frac{2 x^{2} + 6}{x^{2} + 1}\right)
Третья производная [src]
     /          2       2       2 /     2\\
     |     3 + x     2*x     2*x *\3 + x /|
24*x*|-1 + ------ + ------ - -------------|
     |          2        2             2  |
     |     1 + x    1 + x      /     2\   |
     \                         \1 + x /   /
-------------------------------------------
                         2                 
                 /     2\                  
                 \1 + x /                  
24x(x2+1)2(2x2x2+12x2(x2+3)(x2+1)21+x2+3x2+1)\frac{24 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{2 x^{2} \left(x^{2} + 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - 1 + \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1}\right)