Производная sin(x)/(2+3*cos(x)^2)

Вы ввели

    sin(x)   
-------------
         2   
2 + 3*cos (x)

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = 3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2$ почленно:

      1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

         2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

            В результате последовательности правил:

            $- 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $- 6 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $- 6 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} \left(\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right) \cos{\left (x \right )} + 6 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(3 \sin^{2}{\left (x \right )} + 5\right) \cos{\left (x \right )}}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\left(3 \sin^{2}{\left (x \right )} + 5\right) \cos{\left (x \right )}}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}$

Первая производная

                     2          
    cos(x)      6*sin (x)*cos(x)
------------- + ----------------
         2                     2
2 + 3*cos (x)   /         2   \ 
                \2 + 3*cos (x)/ 

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}$$

Вторая производная

/            2                2             2       2   \       
|       6*sin (x)       18*cos (x)    72*cos (x)*sin (x)|       
|-1 - ------------- + ------------- + ------------------|*sin(x)
|              2               2                      2 |       
|     2 + 3*cos (x)   2 + 3*cos (x)    /         2   \  |       
\                                      \2 + 3*cos (x)/  /       
----------------------------------------------------------------
                                  2                             
                         2 + 3*cos (x)                          

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} \left(-1 - \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} + \frac{18 \cos^{2}{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} + \frac{72 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

/              4                 2               2              2       2              2       4   \       
|       216*sin (x)        60*sin (x)      18*cos (x)    432*cos (x)*sin (x)   1296*cos (x)*sin (x)|       
|-1 - ---------------- - ------------- + ------------- + ------------------- + --------------------|*cos(x)
|                    2            2               2                       2                     3  |       
|     /         2   \    2 + 3*cos (x)   2 + 3*cos (x)     /         2   \       /         2   \   |       
\     \2 + 3*cos (x)/                                      \2 + 3*cos (x)/       \2 + 3*cos (x)/   /       
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                        2                                                  
                                               2 + 3*cos (x)                                               

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} \left(-1 - \frac{60 \sin^{2}{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} + \frac{18 \cos^{2}{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} - \frac{216 \sin^{4}{\left (x \right )}}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} + \frac{432 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} + \frac{1296 \sin^{4}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{3}}\right)$$