Производная sin(x)/(2+3*cos(x)^2)

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
    sin(x)   
-------------
         2   
2 + 3*cos (x)
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2}$$
Подробное решение
[TeX]
  1. Применим правило производной частного:

    и .

    Чтобы найти :

    1. Производная синуса есть косинус:

    Чтобы найти :

    1. дифференцируем почленно:

      1. Производная постоянной равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. Заменим .

        2. В силу правила, применим: получим

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

          1. Производная косинус есть минус синус:

          В результате последовательности правил:

        Таким образом, в результате:

      В результате:

    Теперь применим правило производной деления:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
Первая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
                     2          
    cos(x)      6*sin (x)*cos(x)
------------- + ----------------
         2                     2
2 + 3*cos (x)   /         2   \ 
                \2 + 3*cos (x)/ 
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}$$
Вторая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
/            2                2             2       2   \       
|       6*sin (x)       18*cos (x)    72*cos (x)*sin (x)|       
|-1 - ------------- + ------------- + ------------------|*sin(x)
|              2               2                      2 |       
|     2 + 3*cos (x)   2 + 3*cos (x)    /         2   \  |       
\                                      \2 + 3*cos (x)/  /       
----------------------------------------------------------------
                                  2                             
                         2 + 3*cos (x)                          
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} \left(-1 - \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} + \frac{18 \cos^{2}{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} + \frac{72 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}\right)$$
Третья производная
[TeX]
[pretty]
[text]
/              4                 2               2              2       2              2       4   \       
|       216*sin (x)        60*sin (x)      18*cos (x)    432*cos (x)*sin (x)   1296*cos (x)*sin (x)|       
|-1 - ---------------- - ------------- + ------------- + ------------------- + --------------------|*cos(x)
|                    2            2               2                       2                     3  |       
|     /         2   \    2 + 3*cos (x)   2 + 3*cos (x)     /         2   \       /         2   \   |       
\     \2 + 3*cos (x)/                                      \2 + 3*cos (x)/       \2 + 3*cos (x)/   /       
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                        2                                                  
                                               2 + 3*cos (x)                                               
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} \left(-1 - \frac{60 \sin^{2}{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} + \frac{18 \cos^{2}{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2} - \frac{216 \sin^{4}{\left (x \right )}}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} + \frac{432 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} + \frac{1296 \sin^{4}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{3}}\right)$$