Вы можете выполнить исследование функции с помощью производной. Для этого воспользуйтесь онлайн калькулятором с подробным решением, как исследовать функцию.
Для это введите свою функцию в калькулятор:
Где при исследовании функции пригодится помощь производной?
Здесь перечислим, где используется производная, чтобы исследовать функцию:
- Чтобы найти точки экстремумов: найти наименьшее или наибольшее значение функции, а также промежутки возрастания и убывания функции
- Также чтобы найти точки перегибов функции - интервалы выпуклости и вогнутости (здесь используется производная второго порядка).
Рассмотрим пример
Найдём с помощью производной экстремумы и точки перегибов для функции (x^2 - 1)/(x^2 + 1):
Получим результат:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
d --(f(x)) = 0 dx
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
d --(f(x)) = dx
Первая производная
/ 2 \
2*x 2*x*\x - 1/
------ - ------------ = 0
2 2
x + 1 / 2 \
\x + 1/
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1 = 0
Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1 = 0
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
2 d ---(f(x)) = 0 2 dx
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
2 d ---(f(x)) = 2 dx
Вторая производная
/ 2 2 2 / 2\\
| -1 + x 4*x 4*x *\-1 + x /|
2*|1 - ------- - ------ + --------------|
| 2 2 2 |
| 1 + x 1 + x / 2\ |
\ \1 + x / /
----------------------------------------- = 0
2
1 + x
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
___
-\/ 3
x1 = -------
3
___
\/ 3
x2 = -----
3
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3]
Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)