Определить вид кривой второго порядка онлайн

Приведём примеры кривых второго порядка, для которых можно определить канонический вид онлайн:

Кривая

Уравнение Канонический вид Тип Измерение
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0 x^2=1 Две параллельные прямые Кривая
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0 y^2=4*sqrt(2)*x Парабола Линия
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0 x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0 Вырожденный эллипс Линия
5*x^2+ 4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0 x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1 Эллипс

Ислледование на определение вида кривой будет выглядеть примерно так:

Имеется два способа: Прямой метод и метод инвариантов:

Дано ур-ние кривой 2-порядка: 5x2+4xy+8x+8y2+14y+5=05 x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0 Это уравнение имеет вид: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0 где a11=5a_{11} = 5 a12=2a_{12} = 2 a13=4a_{13} = 4 a22=8a_{22} = 8 a23=7a_{23} = 7 a33=5a_{33} = 5 Вычислим определитель Δ=a11a12a12a22\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right| или, подставляем Δ=5228\Delta = \left|\begin{matrix}5 & 2\\2 & 8\end{matrix}\right| Δ=36\Delta = 36 Т.к. Δ\Delta не равен 0, то находим центр канонической системы координат. Для решаем систему уравнений a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0 a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0 подставляем коэффициенты 5x0+2y0+4=05 x_{0} + 2 y_{0} + 4 = 0 2x0+8y0+7=02 x_{0} + 8 y_{0} + 7 = 0 тогда x0=12x_{0} = - \frac{1}{2} y0=34y_{0} = - \frac{3}{4} Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O'x'y' a33+a11x2+2a12xy+a22y2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0 где a33=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33} или a33=4x0+7y0+5a'_{33} = 4 x_{0} + 7 y_{0} + 5 a33=94a'_{33} = - \frac{9}{4} тогда ур-ние превратится в 5x2+4xy+8y294=05 x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{9}{4} = 0 Делаем поворот системы полученной координат на угол φ x=x~cos(ϕ)y~sin(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} - \tilde y \sin{\left (\phi \right )} y=x~sin(ϕ)+y~cos(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )} φ - определяется из формулы cot(2ϕ)=a11a222a12\cot{\left (2 \phi \right )} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}} подставляем коэффициенты cot(2ϕ)=34\cot{\left (2 \phi \right )} = - \frac{3}{4} тогда ϕ=12acot(34)\phi = - \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (\frac{3}{4} \right )} sin(2ϕ)=45\sin{\left (2 \phi \right )} = - \frac{4}{5} cos(2ϕ)=35\cos{\left (2 \phi \right )} = \frac{3}{5} cos(ϕ)=12cos(2ϕ)+12\cos{\left (\phi \right )} = \sqrt{\frac{1}{2} \cos{\left (2 \phi \right )} + \frac{1}{2}} sin(ϕ)=cos2(ϕ)+1\sin{\left (\phi \right )} = \sqrt{- \cos^{2}{\left (\phi \right )} + 1} cos(ϕ)=255\cos{\left (\phi \right )} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} sin(ϕ)=55\sin{\left (\phi \right )} = - \frac{\sqrt{5}}{5} подставляем коэффициенты x=255x~+y~55x' = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5} y=x~55+255y~y' = - \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y тогда ур-ние превратится из 5x2+4xy+8y294=05 x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{9}{4} = 0 в 8(x~55+255y~)2+4(x~55+255y~)(255x~+y~55)+5(255x~+y~55)294=08 \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right)^{2} + 4 \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right) \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right) + 5 \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right)^{2} - \frac{9}{4} = 0 упрощаем 4x~2+9y~294=04 \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} - \frac{9}{4} = 0 Данное уравнение является эллипсом x~2(34)2+y~2(12)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = 1 - приведено к каноническому виду.
Центр канонической системы координат в точке O:

(-1/2, -3/4)

Базис канонической системы координат e1=(255,55)\vec e_1 = \left ( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \quad - \frac{\sqrt{5}}{5}\right ) e2=(55,255)\vec e_2 = \left ( \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right )

Метод инвариантов

Дано ур-ние линии 2-порядка: 5x2+4xy+8x+8y2+14y+5=05 x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0 Это уравнение имеет вид: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0 где a11=5a_{11} = 5 a12=2a_{12} = 2 a13=4a_{13} = 4 a22=8a_{22} = 8 a23=7a_{23} = 7 a33=5a_{33} = 5 Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}

     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=a11a12a13a12a22a23a13a23a33I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right| I(λ)=a11λa12a12a22λI{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|

     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

подставляем коэффициенты I1=13I_{1} = 13

     |5  2|
I2 = |    |
     |2  8|

I3=524287475I_{3} = \left|\begin{matrix}5 & 2 & 4\\2 & 8 & 7\\4 & 7 & 5\end{matrix}\right| I(λ)=λ+522λ+8I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 5 & 2\\2 & - \lambda + 8\end{matrix}\right|

     |5  4|   |8  7|
K2 = |    | + |    |
     |4  5|   |7  5|

I1=13I_{1} = 13 I2=36I_{2} = 36 I3=81I_{3} = -81 I(λ)=λ213λ+36I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} - 13 \lambda + 36 K2=0K_{2} = 0 Т.к. I2>0I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0 то по признаку типов линий:
данное уравнение имеет тип : эллипс.
Составляем характеристическое уравнение для нашей линии: I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0 или λ213λ+36=0\lambda^{2} - 13 \lambda + 36 = 0 λ1=9\lambda_{1} = 9 λ2=4\lambda_{2} = 4 тогда канонический вид уравнения будет x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0 или 9x~2+4y~294=09 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - \frac{9}{4} = 0 x~2(12)2+y~2(34)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} = 1 - приведено к каноническому виду.