Ислледование на определение вида кривой будет выглядеть примерно так:
Имеется два способа: Прямой метод и метод инвариантов:
Дано ур-ние кривой 2-порядка: 5x2+4xy+8x+8y2+14y+5=0 Это уравнение имеет вид: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 где a11=5a12=2a13=4a22=8a23=7a33=5 Вычислим определитель Δ=a11a12a12a22 или, подставляем Δ=5228Δ=36 Т.к. Δ не равен 0, то находим центр канонической системы координат. Для решаем систему уравнений a11x0+a12y0+a13=0a12x0+a22y0+a23=0 подставляем коэффициенты 5x0+2y0+4=02x0+8y0+7=0 тогда x0=−21y0=−43 Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O'x'y' a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0 где a33′=a13x0+a23y0+a33 или a33′=4x0+7y0+5a33′=−49 тогда ур-ние превратится в 5x′2+4x′y′+8y′2−49=0 Делаем поворот системы полученной координат на угол φ x′=x~cos(ϕ)−y~sin(ϕ)y′=x~sin(ϕ)+y~cos(ϕ) φ - определяется из формулы cot(2ϕ)=2a12a11−a22 подставляем коэффициенты cot(2ϕ)=−43 тогда ϕ=−21acot(43)sin(2ϕ)=−54cos(2ϕ)=53cos(ϕ)=21cos(2ϕ)+21sin(ϕ)=−cos2(ϕ)+1cos(ϕ)=525sin(ϕ)=−55 подставляем коэффициенты x′=525x~+5y~5y′=−5x~5+525y~ тогда ур-ние превратится из 5x′2+4x′y′+8y′2−49=0 в 8(−5x~5+525y~)2+4(−5x~5+525y~)(525x~+5y~5)+5(525x~+5y~5)2−49=0 упрощаем 4x~2+9y~2−49=0 Данное уравнение является эллипсом (43)2x~2+(21)2y~2=1 - приведено к каноническому виду.
Центр канонической системы координат в точке O:
(-1/2, -3/4)
Базис канонической системы координат e1=(525,−55)e2=(55,525)
Метод инвариантов
Дано ур-ние линии 2-порядка: 5x2+4xy+8x+8y2+14y+5=0 Это уравнение имеет вид: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 где a11=5a12=2a13=4a22=8a23=7a33=5 Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: I1=a11+a22
I1=13I2=36I3=−81I(λ)=λ2−13λ+36K2=0 Т.к. I2>0∧I1I3<0 то по признаку типов линий:
данное уравнение имеет тип : эллипс.
Составляем характеристическое уравнение для нашей линии: −I1λ+I2+λ2=0 или λ2−13λ+36=0λ1=9λ2=4 тогда канонический вид уравнения будет x~2λ1+y~2λ2+I2I3=0 или 9x~2+4y~2−49=0(21)2x~2+(43)2y~2=1 - приведено к каноническому виду.