2cos^2x-3cosx+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2cos^2x-3cosx+1=0

Вы ввели

     2                      
2*cos (x) - 3*cos(x) + 1 = 0

$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
преобразуем
$$- 3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 2 = 0$$
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (2) * (1) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

     pi
x2 = --
     3 

$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$

     5*pi
x3 = ----
      3  

$$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$

x4 = 2*pi

$$x_{4} = 2 \pi$$

Сумма и произведение корней

сумма

        pi   5*pi       
0 + 0 + -- + ---- + 2*pi
        3     3         

$$\left(\left(\left(0 + 0\right) + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{5 \pi}{3}\right) + 2 \pi$$

=

4*pi

$$4 \pi$$

произведение

    pi 5*pi     
1*0*--*----*2*pi
    3   3       

$$2 \pi \frac{5 \pi}{3} 1 \cdot 0 \frac{\pi}{3}$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = 74.3510261349584

x2 = 82.7286065445312

x3 = -55.5014702134197

x4 = 12.5663704906642

x5 = -37.6991118767899

x6 = 38.7463093942741

x7 = 95.2949771588904

x8 = 13.6135681655558

x9 = -42.9350995990605

x10 = 145.560459616327

x11 = -99.4837673636768

x12 = 42.9350995990605

x13 = 26.1799387799149

x14 = 56.5486676412843

x15 = -6.28318517679891

x16 = -5.23598775598299

x17 = -76.4454212373516

x18 = -32.4631240870945

x19 = -94.2477794807135

x20 = 68.0678408277789

x21 = -81.6814090372847

x22 = -30.3687289847013

x23 = 99.4837673636768

x24 = -51.3126800086333

x25 = -38.7463093942741

x26 = -80.634211442138

x27 = 7.33038285837618

x28 = -182.212372564603

x29 = 93.2005820564972

x30 = 100.530964913886

x31 = -49.2182849062401

x32 = -87.9645943592724

x33 = 55.5014702134197

x34 = 43.9822971693062

x35 = -74.3510261349584

x36 = 126.710903694788

x37 = -63.8790506229925

x38 = 86.9173967493176

x39 = -24.0855436775217

x40 = 37.6991119735314

x41 = 80.634211442138

x42 = 100.530964793178

x43 = 63.8790506229925

x44 = 1.0471975511966

x45 = 81.6814091225562

x46 = -89.0117918517108

x47 = -86.9173967493176

x48 = 24.0855436775217

x49 = 51.3126800086333

x50 = -7.33038285837618

x51 = 0.0

x52 = -13.6135681655558

x53 = 19.8967534727354

x54 = 61.7846555205993

x55 = -36.6519142918809

x56 = -61.7846555205993

x57 = 17.8023583703422

x58 = -43.9822971747058

x59 = -82.7286065445312

x60 = -19.8967534727354

x61 = 94.2477796093529

x62 = -12.5663692278075

x63 = -31.4159266583933

x64 = -45.0294947014537

x65 = 70.162235930172

x66 = 5.23598775598299

x67 = -57.5958653158129

x68 = 87.9645943352828

x69 = -69.1150383715098

x70 = -1.0471975511966

x71 = -11.5191730631626

x72 = 32.4631240870945

x73 = -50.2654823282564

x74 = -17.8023583703422

x75 = 6.2831852843889

x76 = 57.5958653158129

x77 = -68.0678408277789

x78 = -75.3982238054715

x79 = -95.2949771588904

x80 = -13691.0607854088

x81 = 30.3687289847013

x82 = 113.097336365294

x83 = 11.5191730631626

x84 = 50.2654824463735

x85 = -93.2005820564972

x86 = 36.6519142918809

x87 = 89.0117918517108

x88 = 45.0294947014537

x89 = 62.8318525639961

x90 = 49.2182849062401

x91 = -25.1327426219818

График