2sin^2x-sinx-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2sin^2x-sinx-1=0

Вы ввели

     2                    
2*sin (x) - sin(x) - 1 = 0

$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 1 = 0$$
преобразуем
$$- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (2) * (-1) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      6  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$

     pi
x2 = --
     2 

$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

     7*pi
x3 = ----
      6  

$$x_{3} = \frac{7 \pi}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi   7*pi
0 - -- + -- + ----
    6    2     6  

$$\left(\left(- \frac{\pi}{6} + 0\right) + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{7 \pi}{6}$$

=

3*pi
----
 2  

$$\frac{3 \pi}{2}$$

произведение

  -pi  pi 7*pi
1*----*--*----
   6   2   6  

$$\frac{7 \pi}{6} \frac{\pi}{2} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{6}\right)$$

=

     3
-7*pi 
------
  72  

$$- \frac{7 \pi^{3}}{72}$$

Численный ответ

x1 = 20.4203521503825

x2 = 26.7035373553251

x3 = -105.243352993987

x4 = 72.7802298081635

x5 = -75.9218224617533

x6 = 30.8923277602996

x7 = 18.3259571459405

x8 = -48.6946859199052

x9 = 3.66519142918809

x10 = 83.2522055084245

x11 = 14.1371671029003

x12 = -34.0339204138894

x13 = -31.9395253114962

x14 = 629.88932728012

x15 = -59.1666616426078

x16 = -82.2050077689329

x17 = 89.5353908426683

x18 = -54.9778716096663

x19 = -88.4881930761125

x20 = -92.6769830653709

x21 = -98.9601687457423

x22 = 91.6297857297023

x23 = 58.1194644720255

x24 = 9.94837673636768

x25 = 68.5914396033772

x26 = -84.2994028713261

x27 = 47.6474885794452

x28 = -63.3554518473942

x29 = -38.2227106186758

x30 = -25.6563400043166

x31 = -86.3937977736525

x32 = -61.2610569525587

x33 = 12.0427718387609

x34 = 49.7418836818384

x35 = 5.75958653158129

x36 = -54.9778719400612

x37 = -4.71238877564271

x38 = -80.1106125800495

x39 = 74.8746249105567

x40 = -90.5825881785057

x41 = 64.402649309204

x42 = 100.007366139275

x43 = 60.2138591938044

x44 = 41.3643032722656

x45 = 83.2522056280779

x46 = 32.986722670018

x47 = -27.7507351067098

x48 = 95.8185760576709

x49 = -36.1283154198995

x50 = 76.9690198127977

x51 = -2.61799387799149

x52 = -10.9955744709241

x53 = -57.0722665402146

x54 = -44.5058959258554

x55 = -13.0899693899575

x56 = -23.5619450081821

x57 = -17.2787597988071

x58 = 7.85398173972726

x59 = 39.2699083672181

x60 = 16.2315620435473

x61 = 97.9129710368819

x62 = -10.9955748250458

x63 = -46.6002910282486

x64 = 53.9306738866248

x65 = 51.8362788989008

x66 = -71.733032256967

x67 = 24.60914245312

x68 = -42.4115006190379

x69 = -19.3731546971371

x70 = 66.497044500984

x71 = -67.5442421664985

x72 = -65.4498469497874

x73 = 70.6858345098172

x74 = -0.523598775598299

x75 = -21.4675497995303

x76 = -40.317105721069

x77 = -78.0162175641465

x78 = -29.8451300966669

x79 = 93.7241808320955

x80 = -142.942465507123

x81 = 45.5530936891365

x82 = -69.6386371545737

x83 = 1.57079653522944

x84 = 85.3466004225227

x85 = -73.8274272801063

x86 = 62.3082542961976

x87 = 56.025068989018

x88 = -98.9601689600088

x89 = 22.5147473507269

График