2х⁴-х²+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2х⁴-х²+1=0

Вы ввели

   4    2        
2*x  - x  + 1 = 0

$$2 x^{4} - x^{2} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$2 x^{4} - x^{2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$2 v^{2} - v + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (2) * (1) = -7

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4}$$
Упростить
$$v_{2} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4}}$$
$$x_{2} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4}}$$
$$x_{3} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4}}$$
$$x_{4} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4}}$$

Быстрый ответ

               /    /  ___\\             /    /  ___\\
        3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /|
       2   *cos|-----------|   I*2   *sin|-----------|
               \     2     /             \     2     /
x1 = - --------------------- - -----------------------
                 2                        2           

$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2}$$

               /    /  ___\\             /    /  ___\\
        3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /|
       2   *cos|-----------|   I*2   *sin|-----------|
               \     2     /             \     2     /
x2 = - --------------------- + -----------------------
                 2                        2           

$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2}$$

             /    /  ___\\             /    /  ___\\
      3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /|
     2   *cos|-----------|   I*2   *sin|-----------|
             \     2     /             \     2     /
x3 = --------------------- - -----------------------
               2                        2           

$$x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2}$$

             /    /  ___\\             /    /  ___\\
      3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /|
     2   *cos|-----------|   I*2   *sin|-----------|
             \     2     /             \     2     /
x4 = --------------------- + -----------------------
               2                        2           

$$x_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              /    /  ___\\             /    /  ___\\             /    /  ___\\             /    /  ___\\           /    /  ___\\             /    /  ___\\           /    /  ___\\             /    /  ___\\
       3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /|    3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /|    3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /|
      2   *cos|-----------|   I*2   *sin|-----------|     2   *cos|-----------|   I*2   *sin|-----------|   2   *cos|-----------|   I*2   *sin|-----------|   2   *cos|-----------|   I*2   *sin|-----------|
              \     2     /             \     2     /             \     2     /             \     2     /           \     2     /             \     2     /           \     2     /             \     2     /
0 + - --------------------- - ----------------------- + - --------------------- + ----------------------- + --------------------- - ----------------------- + --------------------- + -----------------------
                2                        2                          2                        2                        2                        2                        2                        2           

$$\left(\left(\frac{2^{\frac{3}{4}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2}\right) - 2^{\frac{3}{4}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(\frac{2^{\frac{3}{4}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /          /    /  ___\\             /    /  ___\\\ /          /    /  ___\\             /    /  ___\\\ /        /    /  ___\\             /    /  ___\\\ /        /    /  ___\\             /    /  ___\\\
  |   3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /|| |   3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /|| | 3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /|| | 3/4    |atan\\/ 7 /|      3/4    |atan\\/ 7 /||
  |  2   *cos|-----------|   I*2   *sin|-----------|| |  2   *cos|-----------|   I*2   *sin|-----------|| |2   *cos|-----------|   I*2   *sin|-----------|| |2   *cos|-----------|   I*2   *sin|-----------||
  |          \     2     /             \     2     /| |          \     2     /             \     2     /| |        \     2     /             \     2     /| |        \     2     /             \     2     /|
1*|- --------------------- - -----------------------|*|- --------------------- + -----------------------|*|--------------------- - -----------------------|*|--------------------- + -----------------------|
  \            2                        2           / \            2                        2           / \          2                        2           / \          2                        2           /

$$1 \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{3}{4}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{3}{4}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{2} \right)}}{2}\right)$$

=

1/2

$$\frac{1}{2}$$

Численный ответ

x1 = 0.691775534832849 - 0.478072578792461*i

x2 = -0.691775534832849 + 0.478072578792461*i

x3 = 0.691775534832849 + 0.478072578792461*i

x4 = -0.691775534832849 - 0.478072578792461*i

График