2z^3-7z+5=0 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: 2z^3-7z+5=0
Решение
Подробное решение
Дано уравнение:( 2 z 3 − 7 z ) + 5 = 0 \left(2 z^{3} - 7 z\right) + 5 = 0 ( 2 z 3 − 7 z ) + 5 = 0 преобразуем( − 7 z + ( 2 z 3 − 2 ) ) + 7 = 0 \left(- 7 z + \left(2 z^{3} - 2\right)\right) + 7 = 0 ( − 7 z + ( 2 z 3 − 2 ) ) + 7 = 0 или( − 7 z + ( 2 z 3 − 2 ⋅ 1 3 ) ) + 7 = 0 \left(- 7 z + \left(2 z^{3} - 2 \cdot 1^{3}\right)\right) + 7 = 0 ( − 7 z + ( 2 z 3 − 2 ⋅ 1 3 ) ) + 7 = 0 − 7 ( z − 1 ) + 2 ( z 3 − 1 3 ) = 0 - 7 \left(z - 1\right) + 2 \left(z^{3} - 1^{3}\right) = 0 − 7 ( z − 1 ) + 2 ( z 3 − 1 3 ) = 0 − 7 ( z − 1 ) + 2 ( z − 1 ) ( ( z 2 + z ) + 1 2 ) = 0 - 7 \left(z - 1\right) + 2 \left(z - 1\right) \left(\left(z^{2} + z\right) + 1^{2}\right) = 0 − 7 ( z − 1 ) + 2 ( z − 1 ) ( ( z 2 + z ) + 1 2 ) = 0 Вынесем общий множитель -1 + z за скобки получим:( z − 1 ) ( 2 ( ( z 2 + z ) + 1 2 ) − 7 ) = 0 \left(z - 1\right) \left(2 \left(\left(z^{2} + z\right) + 1^{2}\right) - 7\right) = 0 ( z − 1 ) ( 2 ( ( z 2 + z ) + 1 2 ) − 7 ) = 0 или( z − 1 ) ( 2 z 2 + 2 z − 5 ) = 0 \left(z - 1\right) \left(2 z^{2} + 2 z - 5\right) = 0 ( z − 1 ) ( 2 z 2 + 2 z − 5 ) = 0 тогда:z 1 = 1 z_{1} = 1 z 1 = 1 и также получаем ур-ние2 z 2 + 2 z − 5 = 0 2 z^{2} + 2 z - 5 = 0 2 z 2 + 2 z − 5 = 0 Это уравнение видаa*z^2 + b*z + c = 0 Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Корни квадратного уравнения:z 2 = D − b 2 a z_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a} z 2 = 2 a D − b z 3 = − D − b 2 a z_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a} z 3 = 2 a − D − b где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант. Т.к.a = 2 a = 2 a = 2 b = 2 b = 2 b = 2 c = − 5 c = -5 c = − 5 , тоD = b^2 - 4 * a * c = (2)^2 - 4 * (2) * (-5) = 44 Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.z2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) z3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a) илиz 2 = − 1 2 + 11 2 z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} z 2 = − 2 1 + 2 11 Упростить z 3 = − 11 2 − 1 2 z_{3} = - \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2} z 3 = − 2 11 − 2 1 Упростить Получаем окончательный ответ для 2*z^3 - 7*z + 5 = 0:z 1 = 1 z_{1} = 1 z 1 = 1 z 2 = − 1 2 + 11 2 z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} z 2 = − 2 1 + 2 11 z 3 = − 11 2 − 1 2 z_{3} = - \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2} z 3 = − 2 11 − 2 1 ____
1 \/ 11
z2 = - - + ------
2 2 z 2 = − 1 2 + 11 2 z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} z 2 = − 2 1 + 2 11 ____
1 \/ 11
z3 = - - - ------
2 2 z 3 = − 11 2 − 1 2 z_{3} = - \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2} z 3 = − 2 11 − 2 1
Сумма и произведение корней
[src] ____ ____
1 \/ 11 1 \/ 11
1 + - - + ------ + - - - ------
2 2 2 2 ( − 11 2 − 1 2 ) + ( 1 + ( − 1 2 + 11 2 ) ) \left(- \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}\right)\right) ( − 2 11 − 2 1 ) + ( 1 + ( − 2 1 + 2 11 ) ) / ____\ / ____\
| 1 \/ 11 | | 1 \/ 11 |
|- - + ------|*|- - - ------|
\ 2 2 / \ 2 2 / ( − 1 2 + 11 2 ) ( − 11 2 − 1 2 ) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}\right) ( − 2 1 + 2 11 ) ( − 2 11 − 2 1 )
Теорема Виета
перепишем уравнение( 2 z 3 − 7 z ) + 5 = 0 \left(2 z^{3} - 7 z\right) + 5 = 0 ( 2 z 3 − 7 z ) + 5 = 0 изa z 3 + b z 2 + c z + d = 0 a z^{3} + b z^{2} + c z + d = 0 a z 3 + b z 2 + cz + d = 0 как приведённое кубическое уравнениеz 3 + b z 2 a + c z a + d a = 0 z^{3} + \frac{b z^{2}}{a} + \frac{c z}{a} + \frac{d}{a} = 0 z 3 + a b z 2 + a cz + a d = 0 z 3 − 7 z 2 + 5 2 = 0 z^{3} - \frac{7 z}{2} + \frac{5}{2} = 0 z 3 − 2 7 z + 2 5 = 0 p z 2 + q z + v + z 3 = 0 p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0 p z 2 + q z + v + z 3 = 0 гдеp = b a p = \frac{b}{a} p = a b p = 0 p = 0 p = 0 q = c a q = \frac{c}{a} q = a c q = − 7 2 q = - \frac{7}{2} q = − 2 7 v = d a v = \frac{d}{a} v = a d v = 5 2 v = \frac{5}{2} v = 2 5 Формулы Виетаz 1 + z 2 + z 3 = − p z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p z 1 + z 2 + z 3 = − p z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = q z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = q z 1 z 2 z 3 = v z_{1} z_{2} z_{3} = v z 1 z 2 z 3 = v z 1 + z 2 + z 3 = 0 z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0 z 1 + z 2 + z 3 = 0 z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = − 7 2 z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = - \frac{7}{2} z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = − 2 7 z 1 z 2 z 3 = 5 2 z_{1} z_{2} z_{3} = \frac{5}{2} z 1 z 2 z 3 = 2 5