(3x-1)⁴-20(3x-1)²+64=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (3x-1)⁴-20(3x-1)²+64=0

Вы ввели

         4               2         
(3*x - 1)  - 20*(3*x - 1)  + 64 = 0

$$\left(3 x - 1\right)^{4} - 20 \left(3 x - 1\right)^{2} + 64 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(3 x - 1\right)^{4} - 20 \left(3 x - 1\right)^{2} + 64 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(3 x - 1\right)^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 20 v + 64 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -20$$
$$c = 64$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-20)^2 - 4 * (1) * (64) = 144

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 16$$
Упростить
$$v_{2} = 4$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = \left(3 x - 1\right)^{2}$$
то
$$x_{1} = \frac{\sqrt{v_{1}}}{3} + \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{v_{1}}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{v_{2}}}{3} + \frac{1}{3}$$
$$x_{4} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{v_{2}}}{3}$$
тогда:
$$x_{1} = $$
$$\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{5}{3}$$
$$x_{2} = $$
$$\frac{\left(-1\right) 16^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} = -1$$
$$x_{3} = $$
$$\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}{3} = 1$$
$$x_{4} = $$
$$\frac{\left(-1\right) 4^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}$$

Быстрый ответ

x1 = -1

$$x_{1} = -1$$

x2 = -1/3

$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$

x3 = 1

$$x_{3} = 1$$

x4 = 5/3

$$x_{4} = \frac{5}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 1 - 1/3 + 1 + 5/3

$$\left(\left(\left(-1 + 0\right) - \frac{1}{3}\right) + 1\right) + \frac{5}{3}$$

=

4/3

$$\frac{4}{3}$$

произведение

1*-1*-1/3*1*5/3

$$1 \left(-1\right) \left(- \frac{1}{3}\right) 1 \cdot \frac{5}{3}$$

=

5/9

$$\frac{5}{9}$$

Численный ответ

x1 = -0.333333333333333

x2 = -1.0

x3 = 1.0

x4 = 1.66666666666667