3x^4-2x^2-16=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3x^4-2x^2-16=0

Вы ввели

   4      2         
3*x  - 2*x  - 16 = 0

$$3 x^{4} - 2 x^{2} - 16 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$3 x^{4} - 2 x^{2} - 16 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$3 v^{2} - 2 v - 16 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = -2$$
$$c = -16$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (3) * (-16) = 196

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{8}{3}$$
Упростить
$$v_{2} = -2$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{8}{3}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = $$
$$\frac{\left(-1\right) \left(\frac{8}{3}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{3} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(-2\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{2} i$$
$$x_{4} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-2\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{2} i$$

Быстрый ответ

          ___
     -2*\/ 6 
x1 = --------
        3    

$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$

         ___
     2*\/ 6 
x2 = -------
        3   

$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$

          ___
x3 = -I*\/ 2 

$$x_{3} = - \sqrt{2} i$$

         ___
x4 = I*\/ 2 

$$x_{4} = \sqrt{2} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

        ___       ___                    
    2*\/ 6    2*\/ 6        ___       ___
0 - ------- + ------- - I*\/ 2  + I*\/ 2 
       3         3                       

$$\left(\left(\left(- \frac{2 \sqrt{6}}{3} + 0\right) + \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right) - \sqrt{2} i\right) + \sqrt{2} i$$

=

0

$$0$$

произведение

       ___     ___                 
  -2*\/ 6  2*\/ 6       ___     ___
1*--------*-------*-I*\/ 2 *I*\/ 2 
     3        3                    

$$\sqrt{2} i - \sqrt{2} i \frac{2 \sqrt{6}}{3} \cdot 1 \left(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right)$$

=

-16/3

$$- \frac{16}{3}$$

Численный ответ

x1 = -1.4142135623731*i

x2 = 1.4142135623731*i

x3 = -1.63299316185545

x4 = 1.63299316185545

График