3x^2+3x+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3x^2+3x+1=0

Вы ввели

   2              
3*x  + 3*x + 1 = 0

$$3 x^{2} + 3 x + 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 3$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (3) * (1) = -3

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
Упростить

Быстрый ответ

               ___
       1   I*\/ 3 
x1 = - - - -------
       2      6   

$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x2 = - - + -------
       2      6   

$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              ___             ___
      1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
0 + - - - ------- + - - + -------
      2      6        2      6   

$$\left(0 - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{6}\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{6}\right)$$

=

-1

$$-1$$

произведение

  /          ___\ /          ___\
  |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
1*|- - - -------|*|- - + -------|
  \  2      6   / \  2      6   /

$$1 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{6}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{6}\right)$$

=

1/3

$$\frac{1}{3}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$3 x^{2} + 3 x + 1 = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} + x + \frac{1}{3} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{1}{3}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = -1$$
$$x_{1} x_{2} = \frac{1}{3}$$

Численный ответ

x1 = -0.5 - 0.288675134594813*i

x2 = -0.5 + 0.288675134594813*i

График