√(3х+1)+√(х-1)=6 (уравнение)

Найду корень уравнения: √(3х+1)+√(х-1)=6

Вы ввели

  _________     _______    
\/ 3*x + 1  + \/ x - 1  = 6

$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{3 x + 1} = 6$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{3 x + 1} = 6$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$\left(\sqrt{x - 1} + \sqrt{3 x + 1}\right)^{2} = 36$$
или
$$1^{2} \left(3 x + 1\right) + \left(2 \sqrt{\left(x - 1\right) \left(3 x + 1\right)} + 1^{2} \left(x - 1\right)\right) = 36$$
или
$$4 x + 2 \sqrt{3 x^{2} - 2 x - 1} = 36$$
преобразуем:
$$2 \sqrt{3 x^{2} - 2 x - 1} = 36 - 4 x$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$12 x^{2} - 8 x - 4 = \left(36 - 4 x\right)^{2}$$
$$12 x^{2} - 8 x - 4 = 16 x^{2} - 288 x + 1296$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 4 x^{2} + 280 x - 1300 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = 280$$
$$c = -1300$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(280)^2 - 4 * (-4) * (-1300) = 57600

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 65$$

Т.к.
$$\sqrt{3 x^{2} - 2 x - 1} = 18 - 2 x$$
и
$$\sqrt{3 x^{2} - 2 x - 1} \geq 0$$
то
$$18 - 2 x \geq 0$$
или
$$x \leq 9$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 5$$
проверяем:
$$x_{1} = 5$$
$$\sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{3 x_{1} + 1} - 6 = 0$$
=
$$-6 + \left(\sqrt{-1 + 5} + \sqrt{1 + 3 \cdot 5}\right) = 0$$
=

0 = 0

- тождество
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 5$$

Быстрый ответ

x1 = 5

$$x_{1} = 5$$

Численный ответ

x1 = 5.0

График