4x^2(2x+1)^2-2x(4x^2-1)=30(2x-1)^2 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4x^2(2x+1)^2-2x(4x^2-1)=30(2x-1)^2

Вы ввели

   2          2       /   2    \               2
4*x *(2*x + 1)  - 2*x*\4*x  - 1/ = 30*(2*x - 1) 

$$4 x^{2} \left(2 x + 1\right)^{2} - 2 x \left(4 x^{2} - 1\right) = 30 \left(2 x - 1\right)^{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$4 x^{2} \left(2 x + 1\right)^{2} - 2 x \left(4 x^{2} - 1\right) = 30 \left(2 x - 1\right)^{2}$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 3\right) \left(4 x^{2} + 12 x - 5\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$2 x - 2 = 0$$
$$2 x - 3 = 0$$
$$4 x^{2} + 12 x - 5 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$2 x - 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$2 x = 2$$
Разделим обе части ур-ния на 2

x = 2 / (2)

Получим ответ: x1 = 1
2.
$$2 x - 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$2 x = 3$$
Разделим обе части ур-ния на 2

x = 3 / (2)

Получим ответ: x2 = 3/2
3.
$$4 x^{2} + 12 x - 5 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = 12$$
$$c = -5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(12)^2 - 4 * (4) * (-5) = 224

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{14}}{2}$$
Упростить
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{14}}{2} - \frac{3}{2}$$
Упростить
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{14}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{14}}{2} - \frac{3}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = 1

$$x_{1} = 1$$

x2 = 3/2

$$x_{2} = \frac{3}{2}$$

             ____
       3   \/ 14 
x3 = - - + ------
       2     2   

$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{14}}{2}$$

             ____
       3   \/ 14 
x4 = - - - ------
       2     2   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt{14}}{2} - \frac{3}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                      ____           ____
                3   \/ 14      3   \/ 14 
0 + 1 + 3/2 + - - + ------ + - - - ------
                2     2        2     2   

$$\left(- \frac{\sqrt{14}}{2} - \frac{3}{2}\right) + \left(\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{14}}{2}\right) + \left(\left(0 + 1\right) + \frac{3}{2}\right)\right)$$

=

-1/2

$$- \frac{1}{2}$$

произведение

        /        ____\ /        ____\
        |  3   \/ 14 | |  3   \/ 14 |
1*1*3/2*|- - + ------|*|- - - ------|
        \  2     2   / \  2     2   /

$$1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{14}}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{14}}{2} - \frac{3}{2}\right)$$

=

-15/8

$$- \frac{15}{8}$$

Численный ответ

x1 = 1.0

x2 = 0.370828693386971

x3 = -3.37082869338697

x4 = 1.5

График