4x^2+x/3-5x-1/6=x^2+17/9 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4x^2+x/3-5x-1/6=x^2+17/9

Вы ввели

   2   x                2   17
4*x  + - - 5*x - 1/6 = x  + --
       3                    9 

$$4 x^{2} - 5 x + \frac{x}{3} - \frac{1}{6} = x^{2} + \frac{17}{9}$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$4 x^{2} - 5 x + \frac{x}{3} - \frac{1}{6} = x^{2} + \frac{17}{9}$$
в
$$\left(- x^{2} - \frac{17}{9}\right) + \left(4 x^{2} - 5 x + \frac{x}{3} - \frac{1}{6}\right) = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(- x^{2} - \frac{17}{9}\right) + \left(4 x^{2} - 5 x + \frac{x}{3} - \frac{1}{6}\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$3 x^{2} - \frac{14 x}{3} - \frac{37}{18} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = - \frac{14}{3}$$
$$c = - \frac{37}{18}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-14/3)^2 - 4 * (3) * (-37/18) = 418/9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{7}{9} + \frac{\sqrt{418}}{18}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{7}{9} - \frac{\sqrt{418}}{18}$$
Упростить

Быстрый ответ

           _____
     7   \/ 418 
x1 = - - -------
     9      18  

$$x_{1} = \frac{7}{9} - \frac{\sqrt{418}}{18}$$

           _____
     7   \/ 418 
x2 = - + -------
     9      18  

$$x_{2} = \frac{7}{9} + \frac{\sqrt{418}}{18}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          _____         _____
    7   \/ 418    7   \/ 418 
0 + - - ------- + - + -------
    9      18     9      18  

$$\left(\left(\frac{7}{9} - \frac{\sqrt{418}}{18}\right) + 0\right) + \left(\frac{7}{9} + \frac{\sqrt{418}}{18}\right)$$

=

14/9

$$\frac{14}{9}$$

произведение

  /      _____\ /      _____\
  |7   \/ 418 | |7   \/ 418 |
1*|- - -------|*|- + -------|
  \9      18  / \9      18  /

$$1 \cdot \left(\frac{7}{9} - \frac{\sqrt{418}}{18}\right) \left(\frac{7}{9} + \frac{\sqrt{418}}{18}\right)$$

=

-37 
----
 54 

$$- \frac{37}{54}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$4 x^{2} - 5 x + \frac{x}{3} - \frac{1}{6} = x^{2} + \frac{17}{9}$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} - \frac{14 x}{9} - \frac{37}{54} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - \frac{14}{9}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - \frac{37}{54}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = \frac{14}{9}$$
$$x_{1} x_{2} = - \frac{37}{54}$$

Численный ответ

x1 = -0.358058238903382

x2 = 1.91361379445894

График