4x^3-3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4x^3-3=0

Вы ввели

   3        
4*x  - 3 = 0

$$4 x^{3} - 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$4 x^{3} - 3 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{3}$$
или
$$2^{\frac{2}{3}} x = \sqrt[3]{3}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*2^2/3 = 3^(1/3)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*2^2/3 = 3^1/3

Разделим обе части ур-ния на 2^(2/3)

x = 3^(1/3) / (2^(2/3))

Получим ответ: x = 6^(1/3)/2

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = \frac{3}{4}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{3}{4}$$
где
$$r = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{6}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{6}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{6}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{6}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4}$$

Быстрый ответ

     3 ___
     \/ 6 
x1 = -----
       2  

$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$$

       3 ___     3 ___  5/6
       \/ 6    I*\/ 2 *3   
x2 = - ----- - ------------
         4          4      

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{6}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4}$$

       3 ___     3 ___  5/6
       \/ 6    I*\/ 2 *3   
x3 = - ----- + ------------
         4          4      

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{6}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4}$$

Численный ответ

x1 = 0.90856029641607

x2 = -0.454280148208035 + 0.786836297566236*i

x3 = -0.454280148208035 - 0.786836297566236*i

График