4х³-8х²-х+2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4х³-8х²-х+2=0

Вы ввели

   3      2            
4*x  - 8*x  - x + 2 = 0

$$4 x^{3} - 8 x^{2} - x + 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$4 x^{3} - 8 x^{2} - x + 2 = 0$$
преобразуем
$$\left(- x + \left(\left(- 8 x^{2} + \left(4 x^{3} - 32\right)\right) + 32\right)\right) + 2 = 0$$
или
$$\left(- x - \left(- 4 x^{3} + 8 x^{2} - 32 + 32\right)\right) + 2 = 0$$
$$- (x - 2) - \left(8 \left(x^{2} - 2^{2}\right) - 4 \left(x^{3} - 2^{3}\right)\right) = 0$$
$$- (x - 2) + \left(- 8 \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) + 4 \left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -2 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(- 8 \left(x + 2\right) + 4 \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right)\right) - 1\right) = 0$$
или
$$\left(x - 2\right) \left(4 x^{2} - 1\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 2$$
и также
получаем ур-ние
$$4 x^{2} - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (4) * (-1) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Упростить
$$x_{3} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (4*x^3 - 8*x^2 - x + 2) + 0 = 0:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -1/2

$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$

x2 = 1/2

$$x_{2} = \frac{1}{2}$$

x3 = 2

$$x_{3} = 2$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 1/2 + 1/2 + 2

$$\left(\left(- \frac{1}{2} + 0\right) + \frac{1}{2}\right) + 2$$

=

2

$$2$$

произведение

1*-1/2*1/2*2

$$1 \left(- \frac{1}{2}\right) \frac{1}{2} \cdot 2$$

=

-1/2

$$- \frac{1}{2}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$4 x^{3} - 8 x^{2} - x + 2 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - 2 x^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{2} = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -2$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - \frac{1}{4}$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \frac{1}{2}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = - \frac{1}{4}$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = \frac{1}{2}$$

Численный ответ

x1 = 2.0

x2 = -0.5

x3 = 0.5

График