4х^3-8=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4х^3-8=0

Вы ввели

   3        
4*x  - 8 = 0

$$4 x^{3} - 8 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$4 x^{3} - 8 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{8}$$
или
$$2^{\frac{2}{3}} x = 2$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*2^2/3 = 2

Разделим обе части ур-ния на 2^(2/3)

x = 2 / (2^(2/3))

Получим ответ: x = 2^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 2$$
где
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

     3 ___
x1 = \/ 2 

$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$

       3 ___     3 ___   ___
       \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x2 = - ----- - -------------
         2           2      

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$

       3 ___     3 ___   ___
       \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x3 = - ----- + -------------
         2           2      

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          3 ___     3 ___   ___     3 ___     3 ___   ___
3 ___     \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3      \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
\/ 2  + - ----- - ------------- + - ----- + -------------
            2           2             2           2      

$$\left(\sqrt[3]{2} + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

      /  3 ___     3 ___   ___\ /  3 ___     3 ___   ___\
3 ___ |  \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 | |  \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 |
\/ 2 *|- ----- - -------------|*|- ----- + -------------|
      \    2           2      / \    2           2      /

$$\sqrt[3]{2} \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

2

$$2$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$4 x^{3} - 8 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - 2 = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -2$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -2$$

Численный ответ

x1 = -0.629960524947437 - 1.09112363597172*i

x2 = -0.629960524947437 + 1.09112363597172*i

x3 = 1.25992104989487

График