5x^2-7x-2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 5x^2-7x-2=0

Вы ввели

   2              
5*x  - 7*x - 2 = 0

$$5 x^{2} - 7 x - 2 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 5$$
$$b = -7$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (5) * (-2) = 89

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{7}{10} + \frac{\sqrt{89}}{10}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{7}{10} - \frac{\sqrt{89}}{10}$$
Упростить

Быстрый ответ

            ____
     7    \/ 89 
x1 = -- - ------
     10     10  

$$x_{1} = \frac{7}{10} - \frac{\sqrt{89}}{10}$$

            ____
     7    \/ 89 
x2 = -- + ------
     10     10  

$$x_{2} = \frac{7}{10} + \frac{\sqrt{89}}{10}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           ____          ____
    7    \/ 89    7    \/ 89 
0 + -- - ------ + -- + ------
    10     10     10     10  

$$\left(\left(\frac{7}{10} - \frac{\sqrt{89}}{10}\right) + 0\right) + \left(\frac{7}{10} + \frac{\sqrt{89}}{10}\right)$$

=

7/5

$$\frac{7}{5}$$

произведение

  /       ____\ /       ____\
  |7    \/ 89 | |7    \/ 89 |
1*|-- - ------|*|-- + ------|
  \10     10  / \10     10  /

$$1 \cdot \left(\frac{7}{10} - \frac{\sqrt{89}}{10}\right) \left(\frac{7}{10} + \frac{\sqrt{89}}{10}\right)$$

=

-2/5

$$- \frac{2}{5}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$5 x^{2} - 7 x - 2 = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} - \frac{7 x}{5} - \frac{2}{5} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - \frac{7}{5}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - \frac{2}{5}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = \frac{7}{5}$$
$$x_{1} x_{2} = - \frac{2}{5}$$

Численный ответ

x1 = -0.24339811320566

x2 = 1.64339811320566

График