6x^4+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 6x^4+1=0

Вы ввели

   4        
6*x  + 1 = 0

$$6 x^{4} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$6 x^{4} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = - \frac{1}{6}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = - \frac{1}{6}$$
где
$$r = \frac{6^{\frac{3}{4}}}{6}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{6} - \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}} i}{6}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{6} + \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}} i}{6}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{6} - \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}} i}{6}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{6} + \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}} i}{6}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{6} - \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}} i}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{6} + \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}} i}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{6} - \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}} i}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{6} + \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}} i}{6}$$

Быстрый ответ

       4 ___  3/4     4 ___  3/4
       \/ 2 *3      I*\/ 2 *3   
x1 = - ---------- - ------------
           6             6      

$$x_{1} = - \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{6} - \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}} i}{6}$$

       4 ___  3/4     4 ___  3/4
       \/ 2 *3      I*\/ 2 *3   
x2 = - ---------- + ------------
           6             6      

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{6} + \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}} i}{6}$$

     4 ___  3/4     4 ___  3/4
     \/ 2 *3      I*\/ 2 *3   
x3 = ---------- - ------------
         6             6      

$$x_{3} = \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{6} - \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}} i}{6}$$

     4 ___  3/4     4 ___  3/4
     \/ 2 *3      I*\/ 2 *3   
x4 = ---------- + ------------
         6             6      

$$x_{4} = \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{6} + \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 3^{\frac{3}{4}} i}{6}$$

Численный ответ

x1 = -0.451801001804922 + 0.451801001804922*i

x2 = 0.451801001804922 - 0.451801001804922*i

x3 = 0.451801001804922 + 0.451801001804922*i

x4 = -0.451801001804922 - 0.451801001804922*i

График