6х⁴+5х²+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 6х⁴+5х²+1=0

Вы ввели

   4      2        
6*x  + 5*x  + 1 = 0

$$6 x^{4} + 5 x^{2} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$6 x^{4} + 5 x^{2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$6 v^{2} + 5 v + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 6$$
$$b = 5$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (6) * (1) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = - \frac{1}{3}$$
Упростить
$$v_{2} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(- \frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
$$x_{2} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(- \frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(- \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(- \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

          ___ 
     -I*\/ 2  
x1 = ---------
         2    

$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

         ___
     I*\/ 2 
x2 = -------
        2   

$$x_{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

          ___ 
     -I*\/ 3  
x3 = ---------
         3    

$$x_{3} = - \frac{\sqrt{3} i}{3}$$

         ___
     I*\/ 3 
x4 = -------
        3   

$$x_{4} = \frac{\sqrt{3} i}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        ___       ___       ___       ___
    I*\/ 2    I*\/ 2    I*\/ 3    I*\/ 3 
0 - ------- + ------- - ------- + -------
       2         2         3         3   

$$\left(- \frac{\sqrt{3} i}{3} + \left(\left(0 - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)\right) + \frac{\sqrt{3} i}{3}$$

=

0

$$0$$

произведение

       ___      ___      ___      ___
  -I*\/ 2   I*\/ 2  -I*\/ 3   I*\/ 3 
1*---------*-------*---------*-------
      2        2        3        3   

$$\frac{\sqrt{3} i}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \frac{\sqrt{2} i}{2} \cdot 1 \left(- \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

1/6

$$\frac{1}{6}$$

Численный ответ

x1 = 0.707106781186548*i

x2 = -0.577350269189626*i

x3 = 0.577350269189626*i

x4 = -0.707106781186548*i

График