9x^2-5x+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 9x^2-5x+1=0

Вы ввели

   2              
9*x  - 5*x + 1 = 0

$$9 x^{2} - 5 x + 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 9$$
$$b = -5$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (9) * (1) = -11

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{5}{18} + \frac{\sqrt{11} i}{18}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{5}{18} - \frac{\sqrt{11} i}{18}$$
Упростить

Быстрый ответ

              ____
     5    I*\/ 11 
x1 = -- - --------
     18      18   

$$x_{1} = \frac{5}{18} - \frac{\sqrt{11} i}{18}$$

              ____
     5    I*\/ 11 
x2 = -- + --------
     18      18   

$$x_{2} = \frac{5}{18} + \frac{\sqrt{11} i}{18}$$

Сумма и произведение корней

сумма

             ____            ____
    5    I*\/ 11    5    I*\/ 11 
0 + -- - -------- + -- + --------
    18      18      18      18   

$$\left(0 + \left(\frac{5}{18} - \frac{\sqrt{11} i}{18}\right)\right) + \left(\frac{5}{18} + \frac{\sqrt{11} i}{18}\right)$$

=

5/9

$$\frac{5}{9}$$

произведение

  /         ____\ /         ____\
  |5    I*\/ 11 | |5    I*\/ 11 |
1*|-- - --------|*|-- + --------|
  \18      18   / \18      18   /

$$1 \cdot \left(\frac{5}{18} - \frac{\sqrt{11} i}{18}\right) \left(\frac{5}{18} + \frac{\sqrt{11} i}{18}\right)$$

=

1/9

$$\frac{1}{9}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$9 x^{2} - 5 x + 1 = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} - \frac{5 x}{9} + \frac{1}{9} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - \frac{5}{9}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{1}{9}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = \frac{5}{9}$$
$$x_{1} x_{2} = \frac{1}{9}$$

Численный ответ

x1 = 0.277777777777778 + 0.184256932797522*i

x2 = 0.277777777777778 - 0.184256932797522*i

График