a+3a^2=-11 (уравнение)

Найду корень уравнения: a+3a^2=-11

Вы ввели

       2      
a + 3*a  = -11

$$3 a^{2} + a = -11$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$3 a^{2} + a = -11$$
в
$$\left(3 a^{2} + a\right) + 11 = 0$$
Это уравнение вида

a*a^2 + b*a + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$a_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$a_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 1$$
$$c = 11$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (3) * (11) = -131

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

a1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

a2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$a_{1} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{131} i}{6}$$
Упростить
$$a_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{131} i}{6}$$
Упростить

Быстрый ответ

               _____
       1   I*\/ 131 
a1 = - - - ---------
       6       6    

$$a_{1} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{131} i}{6}$$

               _____
       1   I*\/ 131 
a2 = - - + ---------
       6       6    

$$a_{2} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{131} i}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              _____             _____
      1   I*\/ 131      1   I*\/ 131 
0 + - - - --------- + - - + ---------
      6       6         6       6    

$$\left(0 - \left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{131} i}{6}\right)\right) - \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{131} i}{6}\right)$$

=

-1/3

$$- \frac{1}{3}$$

произведение

  /          _____\ /          _____\
  |  1   I*\/ 131 | |  1   I*\/ 131 |
1*|- - - ---------|*|- - + ---------|
  \  6       6    / \  6       6    /

$$1 \left(- \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{131} i}{6}\right) \left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{131} i}{6}\right)$$

=

11/3

$$\frac{11}{3}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$3 a^{2} + a = -11$$
из
$$a^{3} + a b + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$a^{2} + b + \frac{c}{a} = 0$$
$$a^{2} + \frac{a}{3} + \frac{11}{3} = 0$$
$$a^{2} + a p + q = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{1}{3}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{11}{3}$$
Формулы Виета
$$a_{1} + a_{2} = - p$$
$$a_{1} a_{2} = q$$
$$a_{1} + a_{2} = - \frac{1}{3}$$
$$a_{1} a_{2} = \frac{11}{3}$$

Численный ответ

a1 = -0.166666666666667 - 1.9075871903766*i

a2 = -0.166666666666667 + 1.9075871903766*i

График