𝑎𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 𝑎𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0

Вы ввели

   2              
a*x  + 2*x + 1 = 0

$$\left(a x^{2} + 2 x\right) + 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.

True

$$b = 2$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (a) * (1) = 4 - 4*a

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{4 - 4 a} - 2}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{4 - 4 a} - 2}{2 a}$$

Быстрый ответ

       /  /        _______________________                              \            _______________________                                    \   /        _______________________                              \            _______________________                                    
       |  |     4 /            2     2        /atan2(-im(a), 1 - re(a))\|         4 /            2     2              /atan2(-im(a), 1 - re(a))\|   |     4 /            2     2        /atan2(-im(a), 1 - re(a))\|         4 /            2     2              /atan2(-im(a), 1 - re(a))\
       |  |-1 + \/  (1 - re(a))  + im (a) *cos|------------------------||*im(a)   \/  (1 - re(a))  + im (a) *re(a)*sin|------------------------||   |-1 + \/  (1 - re(a))  + im (a) *cos|------------------------||*re(a)   \/  (1 - re(a))  + im (a) *im(a)*sin|------------------------|
       |  \                                   \           2            //                                             \           2            /|   \                                   \           2            //                                             \           2            /
x1 = I*|- --------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------| + --------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------
       |                               2        2                                                          2        2                           |                                2        2                                                          2        2                           
       \                             im (a) + re (a)                                                     im (a) + re (a)                        /                              im (a) + re (a)                                                     im (a) + re (a)                        

$$x_{1} = \frac{\left(\sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)} - 1\right) \operatorname{re}{\left(a\right)}}{\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} + i \left(- \frac{\left(\sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)} - 1\right) \operatorname{im}{\left(a\right)}}{\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} + \frac{\sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)} \operatorname{re}{\left(a\right)}}{\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}}\right) + \frac{\sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)} \operatorname{im}{\left(a\right)}}{\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}}$$

       //       _______________________                              \            _______________________                                    \   /       _______________________                              \            _______________________                                    
       ||    4 /            2     2        /atan2(-im(a), 1 - re(a))\|         4 /            2     2              /atan2(-im(a), 1 - re(a))\|   |    4 /            2     2        /atan2(-im(a), 1 - re(a))\|         4 /            2     2              /atan2(-im(a), 1 - re(a))\
       ||1 + \/  (1 - re(a))  + im (a) *cos|------------------------||*im(a)   \/  (1 - re(a))  + im (a) *re(a)*sin|------------------------||   |1 + \/  (1 - re(a))  + im (a) *cos|------------------------||*re(a)   \/  (1 - re(a))  + im (a) *im(a)*sin|------------------------|
       |\                                  \           2            //                                             \           2            /|   \                                  \           2            //                                             \           2            /
x2 = I*|-------------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------------| - -------------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------------
       |                            2        2                                                          2        2                           |                               2        2                                                          2        2                           
       \                          im (a) + re (a)                                                     im (a) + re (a)                        /                             im (a) + re (a)                                                     im (a) + re (a)                        

$$x_{2} = - \frac{\left(\sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)} + 1\right) \operatorname{re}{\left(a\right)}}{\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} + i \left(\frac{\left(\sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)} + 1\right) \operatorname{im}{\left(a\right)}}{\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} - \frac{\sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)} \operatorname{re}{\left(a\right)}}{\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}}\right) - \frac{\sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)} \operatorname{im}{\left(a\right)}}{\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}}$$

Решение параметрического уравнения

Дано уравнение с параметром:
$$a x^{2} + 2 x + 1 = 0$$
Коэффициент при x равен
$$a$$
тогда возможные случаи для a :
$$a < 0$$
$$a = 0$$
Рассмотри все случаи подробнее:
При
$$a < 0$$
уравнение будет
$$- x^{2} + 2 x + 1 = 0$$
его решение
$$x = 1 - \sqrt{2}$$
$$x = 1 + \sqrt{2}$$
При
$$a = 0$$
уравнение будет
$$2 x + 1 = 0$$
его решение
$$x = - \frac{1}{2}$$