4^x-7=1/64 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4^x-7=1/64

Вы ввели

 x           
4  - 7 = 1/64

$$4^{x} - 7 = \frac{1}{64}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$4^{x} - 7 = \frac{1}{64}$$
или
$$\left(4^{x} - 7\right) - \frac{1}{64} = 0$$
или
$$4^{x} = \frac{449}{64}$$
или
$$4^{x} = \frac{449}{64}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v - \frac{449}{64} = 0$$
или
$$v - \frac{449}{64} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{449}{64}$$
Получим ответ: v = 449/64
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(\frac{449}{64} \right)}}{\log{\left(4 \right)}} = -3 + \frac{\log{\left(449 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ

          log(449)
x1 = -3 + --------
          2*log(2)

$$x_{1} = -3 + \frac{\log{\left(449 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

        /  _____\         
        |\/ 449 |         
     log|-------|         
        \   8   /    pi*I 
x2 = ------------ + ------
        log(2)      log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{449}}{8} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                       /  _____\         
                       |\/ 449 |         
                    log|-------|         
         log(449)      \   8   /    pi*I 
0 + -3 + -------- + ------------ + ------
         2*log(2)      log(2)      log(2)

$$\left(0 - \left(- \frac{\log{\left(449 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + 3\right)\right) + \left(\frac{\log{\left(\frac{\sqrt{449}}{8} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

        /  _____\                    
        |\/ 449 |                    
     log|-------|                    
        \   8   /   log(449)    pi*I 
-3 + ------------ + -------- + ------
        log(2)      2*log(2)   log(2)

$$-3 + \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{449}}{8} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(449 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

                  /   /  _____\         \
                  |   |\/ 449 |         |
                  |log|-------|         |
  /     log(449)\ |   \   8   /    pi*I |
1*|-3 + --------|*|------------ + ------|
  \     2*log(2)/ \   log(2)      log(2)/

$$1 \left(-3 + \frac{\log{\left(449 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(\frac{\sqrt{449}}{8} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

                           /         1    \
                           |     ---------|
                           |          2   |
/     /  _____\       \    |     2*log (2)|
|     |\/ 449 |       |    |/ 64\         |
|- log|-------| - pi*I|*log||---|         |
\     \   8   /       /    \\449/         /

$$\left(- \log{\left(\frac{\sqrt{449}}{8} \right)} - i \pi\right) \log{\left(\left(\frac{64}{449}\right)^{\frac{1}{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 1.40528581737057 + 4.53236014182719*i

x2 = 1.40528581737057

График