2x^4-5x^2-3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2x^4-5x^2-3=0

Вы ввели

   4      2        
2*x  - 5*x  - 3 = 0

$$2 x^{4} - 5 x^{2} - 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$2 x^{4} - 5 x^{2} - 3 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$2 v^{2} - 5 v - 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -5$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (2) * (-3) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 3$$
Упростить
$$v_{2} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{3}$$
$$x_{2} =$$
$$\frac{\left(-1\right) 3^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(- \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{4} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(- \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

        ___
x1 = -\/ 3 

$$x_{1} = - \sqrt{3}$$

       ___
x2 = \/ 3 

$$x_{2} = \sqrt{3}$$

          ___ 
     -I*\/ 2  
x3 = ---------
         2    

$$x_{3} = - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

         ___
     I*\/ 2 
x4 = -------
        2   

$$x_{4} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                        ___       ___
      ___     ___   I*\/ 2    I*\/ 2 
0 - \/ 3  + \/ 3  - ------- + -------
                       2         2   

$$\left(\left(\left(- \sqrt{3} + 0\right) + \sqrt{3}\right) - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

=

0

$$0$$

произведение

                    ___      ___
     ___   ___ -I*\/ 2   I*\/ 2 
1*-\/ 3 *\/ 3 *---------*-------
                   2        2   

$$\frac{\sqrt{2} i}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{3} \cdot 1 \left(- \sqrt{3}\right)$$

=

-3/2

$$- \frac{3}{2}$$

Численный ответ

x1 = -1.73205080756888

x2 = 1.73205080756888

x3 = -0.707106781186548*i

x4 = 0.707106781186548*i

График