27-x^9=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 27-x^9=0

Вы ввели

      9    
27 - x  = 0

$$27 - x^{9} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$27 - x^{9} = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[9]{\left(1 x + 0\right)^{9}} = \sqrt[9]{27}$$
или
$$x = \sqrt[3]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 3^1/3

Получим ответ: x = 3^(1/3)

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{9} = 27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = 27$$
где
$$r = \sqrt[3]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{3}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{4} = - \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{5} = - \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{6} = \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{7} = \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{8} = \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{9} = \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x_{4} = - \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{5} = - \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{6} = \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{7} = \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{8} = \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{9} = \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

Быстрый ответ

     3 ___
x1 = \/ 3 

$$x_{1} = \sqrt[3]{3}$$

       3 ___      5/6
       \/ 3    I*3   
x2 = - ----- - ------
         2       2   

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

       3 ___      5/6
       \/ 3    I*3   
x3 = - ----- + ------
         2       2   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

       3 ___    /pi\     3 ___    /pi\
x4 = - \/ 3 *cos|--| - I*\/ 3 *sin|--|
                \9 /              \9 /

$$x_{4} = - \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

       3 ___    /pi\     3 ___    /pi\
x5 = - \/ 3 *cos|--| + I*\/ 3 *sin|--|
                \9 /              \9 /

$$x_{5} = - \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

     3 ___    /2*pi\     3 ___    /2*pi\
x6 = \/ 3 *cos|----| - I*\/ 3 *sin|----|
              \ 9  /              \ 9  /

$$x_{6} = \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

     3 ___    /2*pi\     3 ___    /2*pi\
x7 = \/ 3 *cos|----| + I*\/ 3 *sin|----|
              \ 9  /              \ 9  /

$$x_{7} = \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

     3 ___    /4*pi\     3 ___    /4*pi\
x8 = \/ 3 *cos|----| - I*\/ 3 *sin|----|
              \ 9  /              \ 9  /

$$x_{8} = \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

     3 ___    /4*pi\     3 ___    /4*pi\
x9 = \/ 3 *cos|----| + I*\/ 3 *sin|----|
              \ 9  /              \ 9  /

$$x_{9} = \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              3 ___      5/6     3 ___      5/6                                                                                                                                                                                                                                
    3 ___     \/ 3    I*3        \/ 3    I*3        3 ___    /pi\     3 ___    /pi\     3 ___    /pi\     3 ___    /pi\   3 ___    /2*pi\     3 ___    /2*pi\   3 ___    /2*pi\     3 ___    /2*pi\   3 ___    /4*pi\     3 ___    /4*pi\   3 ___    /4*pi\     3 ___    /4*pi\
0 + \/ 3  + - ----- - ------ + - ----- + ------ + - \/ 3 *cos|--| - I*\/ 3 *sin|--| + - \/ 3 *cos|--| + I*\/ 3 *sin|--| + \/ 3 *cos|----| - I*\/ 3 *sin|----| + \/ 3 *cos|----| + I*\/ 3 *sin|----| + \/ 3 *cos|----| - I*\/ 3 *sin|----| + \/ 3 *cos|----| + I*\/ 3 *sin|----|
                2       2          2       2                 \9 /              \9 /              \9 /              \9 /            \ 9  /              \ 9  /            \ 9  /              \ 9  /            \ 9  /              \ 9  /            \ 9  /              \ 9  /

$$\left(\left(\sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right) + \left(\left(\left(\sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) + \left(\left(\left(- \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) + \left(\left(\left(0 + \sqrt[3]{3}\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)\right)\right) - \left(\sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)\right)\right) + \left(\sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right)\right)\right) + \left(\sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right)$$

=

    3 ___    /pi\     3 ___    /2*pi\     3 ___    /4*pi\
- 2*\/ 3 *cos|--| + 2*\/ 3 *cos|----| + 2*\/ 3 *cos|----|
             \9 /              \ 9  /              \ 9  /

$$- 2 \cdot \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 \cdot \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 \cdot \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

произведение

        /  3 ___      5/6\ /  3 ___      5/6\                                                                                                                                                                                                                                
  3 ___ |  \/ 3    I*3   | |  \/ 3    I*3   | /  3 ___    /pi\     3 ___    /pi\\ /  3 ___    /pi\     3 ___    /pi\\ /3 ___    /2*pi\     3 ___    /2*pi\\ /3 ___    /2*pi\     3 ___    /2*pi\\ /3 ___    /4*pi\     3 ___    /4*pi\\ /3 ___    /4*pi\     3 ___    /4*pi\\
1*\/ 3 *|- ----- - ------|*|- ----- + ------|*|- \/ 3 *cos|--| - I*\/ 3 *sin|--||*|- \/ 3 *cos|--| + I*\/ 3 *sin|--||*|\/ 3 *cos|----| - I*\/ 3 *sin|----||*|\/ 3 *cos|----| + I*\/ 3 *sin|----||*|\/ 3 *cos|----| - I*\/ 3 *sin|----||*|\/ 3 *cos|----| + I*\/ 3 *sin|----||
        \    2       2   / \    2       2   / \           \9 /              \9 // \           \9 /              \9 // \         \ 9  /              \ 9  // \         \ 9  /              \ 9  // \         \ 9  /              \ 9  // \         \ 9  /              \ 9  //

$$1 \cdot \sqrt[3]{3} \left(- \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(- \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) \left(- \sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) \left(\sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) \left(\sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) \left(\sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right) \left(\sqrt[3]{3} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{3} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right)$$

=

             4/pi\          6/pi\          6/pi\          2/pi\
-81 - 324*sin |--| + 108*cos |--| + 108*sin |--| + 324*sin |--|
              \9 /           \9 /           \9 /           \9 /

$$-81 - 324 \sin^{4}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 108 \sin^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 324 \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 108 \cos^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 1.10482726892472 - 0.927060153869337*i

x2 = 0.250444009624795 - 1.42033855861726*i

x3 = -1.35527127854952 + 0.493278404747924*i

x4 = -0.721124785153704 - 1.24902476648341*i

x5 = -0.721124785153704 + 1.24902476648341*i

x6 = -1.35527127854952 - 0.493278404747924*i

x7 = 0.250444009624795 + 1.42033855861726*i

x8 = 1.44224957030741

x9 = 1.10482726892472 + 0.927060153869337*i

График