cos2(x)=1/2 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos2(x)=1/2

Вы ввели

   2         
cos (x) = 1/2

$$\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = - \frac{1}{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1/2) = 2

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     4 

$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$

     3*pi
x2 = ----
      4  

$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$

     5*pi
x3 = ----
      4  

$$x_{3} = \frac{5 \pi}{4}$$

     7*pi
x4 = ----
      4  

$$x_{4} = \frac{7 \pi}{4}$$

Численный ответ

x1 = -19.6349540849362

x2 = 16.4933614313464

x3 = -12461.9126586273

x4 = 33.7721210260903

x5 = -68.329640215578

x6 = -84.037603483527

x7 = -85.6083998103219

x8 = -99.7455667514759

x9 = 30.6305283725005

x10 = 55.7632696012188

x11 = -35.3429173528852

x12 = -5.49778714378214

x13 = -55.7632696012188

x14 = -91.8915851175014

x15 = 88.7499924639117

x16 = 85.6083998103219

x17 = -24.3473430653209

x18 = 46.3384916404494

x19 = -49.4800842940392

x20 = -25.9181393921158

x21 = -3.92699081698724

x22 = 63.6172512351933

x23 = -82.4668071567321

x24 = 38.484510006475

x25 = 49.4800842940392

x26 = 66.7588438887831

x27 = 162.577419823272

x28 = -93.4623814442964

x29 = -57.3340659280137

x30 = 98.174770424681

x31 = -54.1924732744239

x32 = -2.35619449019234

x33 = 91.8915851175014

x34 = -77.7544181763474

x35 = 74.6128255227576

x36 = -38.484510006475

x37 = 41.6261026600648

x38 = 82.4668071567321

x39 = -63.6172512351933

x40 = 5.49778714378214

x41 = 384.059701901352

x42 = -41.6261026600648

x43 = 52.621676947629

x44 = 19.6349540849362

x45 = 68.329640215578

x46 = 90.3207887907066

x47 = 8.63937979737193

x48 = -98.174770424681

x49 = -46.3384916404494

x50 = 62.0464549083984

x51 = 77.7544181763474

x52 = 40.0553063332699

x53 = -76.1836218495525

x54 = 24.3473430653209

x55 = 87.1791961371168

x56 = -16.4933614313464

x57 = 96.6039740978861

x58 = 54.1924732744239

x59 = -10.2101761241668

x60 = 47.9092879672443

x61 = -27.4889357189107

x62 = -90.3207887907066

x63 = -71.4712328691678

x64 = 11.7809724509617

x65 = -62.0464549083984

x66 = 60.4756585816035

x67 = 25.9181393921158

x68 = 22.776546738526

x69 = 84.037603483527

x70 = 44.7676953136546

x71 = -60.4756585816035

x72 = -11.7809724509617

x73 = -69.9004365423729

x74 = 76.1836218495525

x75 = -13.3517687777566

x76 = 10.2101761241668

x77 = -1131.75875345572

x78 = -47.9092879672443

x79 = 2.35619449019234

x80 = 14247.9080821931

x81 = 99.7455667514759

x82 = -33.7721210260903

x83 = -79.3252145031423

x84 = -32.2013246992954

x85 = -40.0553063332699

x86 = 32.2013246992954

x87 = 3.92699081698724

x88 = 69.9004365423729

x89 = 18.0641577581413

x90 = 27.4889357189107

x91 = -18.0641577581413

График