|3x+1|=a-x (уравнение)

Найду корень уравнения: |3x+1|=a-x

Вы ввели

|3*x + 1| = a - x

$$\left|{3 x + 1}\right| = a - x$$

Подробное решение

Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$3 x + 1 \geq 0$$
или
$$- \frac{1}{3} \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- a + x + \left(3 x + 1\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$- a + 4 x + 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = \frac{a}{4} - \frac{1}{4}$$

2.
$$3 x + 1 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{3}$$
получаем ур-ние
$$- a + x - \left(3 x + 1\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$- a - 2 x - 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2}$$


Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{a}{4} - \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2}$$

Быстрый ответ

     /  1   a              
     |- - - -  for a > -1/3
x1 = <  2   2              
     |                     
     \  nan     otherwise  

$$x_{1} = \begin{cases} - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} & \text{for}\: a > - \frac{1}{3} \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$

     /  1   a               
     |- - + -  for a >= -1/3
x2 = <  4   4               
     |                      
     \  nan      otherwise  

$$x_{2} = \begin{cases} \frac{a}{4} - \frac{1}{4} & \text{for}\: a \geq - \frac{1}{3} \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    //  1   a              \   //  1   a               \
    ||- - - -  for a > -1/3|   ||- - + -  for a >= -1/3|
0 + |<  2   2              | + |<  4   4               |
    ||                     |   ||                      |
    \\  nan     otherwise  /   \\  nan      otherwise  /

$$\left(\begin{cases} - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} & \text{for}\: a > - \frac{1}{3} \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases} + 0\right) + \begin{cases} \frac{a}{4} - \frac{1}{4} & \text{for}\: a \geq - \frac{1}{3} \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$

=

//  1   a              \   //  1   a               \
||- - - -  for a > -1/3|   ||- - + -  for a >= -1/3|
|<  2   2              | + |<  4   4               |
||                     |   ||                      |
\\  nan     otherwise  /   \\  nan      otherwise  /

$$\begin{cases} - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} & \text{for}\: a > - \frac{1}{3} \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases} + \begin{cases} \frac{a}{4} - \frac{1}{4} & \text{for}\: a \geq - \frac{1}{3} \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$

произведение

  //  1   a              \ //  1   a               \
  ||- - - -  for a > -1/3| ||- - + -  for a >= -1/3|
1*|<  2   2              |*|<  4   4               |
  ||                     | ||                      |
  \\  nan     otherwise  / \\  nan      otherwise  /

$$1 \left(\begin{cases} - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} & \text{for}\: a > - \frac{1}{3} \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}\right) \left(\begin{cases} \frac{a}{4} - \frac{1}{4} & \text{for}\: a \geq - \frac{1}{3} \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}\right)$$

=

/     2              
|1 - a               
|------  for a > -1/3
<  8                 
|                    
| nan     otherwise  
\                    

$$\begin{cases} \frac{1 - a^{2}}{8} & \text{for}\: a > - \frac{1}{3} \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$