(1/4)^x-8=64 (уравнение)

Найду корень уравнения: (1/4)^x-8=64

Вы ввели

 -x         
4   - 8 = 64

$$\left(-1\right) 8 + \left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 64$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(-1\right) 8 + \left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 64$$
или
$$\left(\left(-1\right) 8 + \left(\frac{1}{4}\right)^{x}\right) - 64 = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 72$$
или
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 72$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$$
получим
$$v - 72 = 0$$
или
$$v - 72 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 72$$
Получим ответ: v = 72
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(72 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{4} \right)}} = - \log{\left(72^{\frac{1}{\log{\left(4 \right)}}} \right)}$$

Быстрый ответ

     -log(72) 
x1 = ---------
      2*log(2)

$$x_{1} = - \frac{\log{\left(72 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

       log(72)     pi*I 
x2 = - -------- + ------
       2*log(2)   log(2)

$$x_{2} = - \frac{\log{\left(72 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    log(72)      log(72)     pi*I 
0 - -------- + - -------- + ------
    2*log(2)     2*log(2)   log(2)

$$\left(- \frac{\log{\left(72 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + 0\right) - \left(\frac{\log{\left(72 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

  log(72)    pi*I 
- ------- + ------
   log(2)   log(2)

$$- \frac{\log{\left(72 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

  -log(72)  /  log(72)     pi*I \
1*---------*|- -------- + ------|
   2*log(2) \  2*log(2)   log(2)/

$$1 \left(- \frac{\log{\left(72 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) \left(- \frac{\log{\left(72 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

(-2*pi*I + log(72))*log(72)
---------------------------
              2            
         4*log (2)         

$$\frac{\left(\log{\left(72 \right)} - 2 i \pi\right) \log{\left(72 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}^{2}}$$

Численный ответ

x1 = -3.08496250072116 + 4.53236014182719*i

x2 = -3.08496250072116

График