5x^9+5=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 5x^9+5=0

Вы ввели

   9        
5*x  + 5 = 0

$$5 x^{9} + 5 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$5 x^{9} + 5 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[9]{5} \sqrt[9]{x^{9}} = \sqrt[9]{-5}$$
или
$$\sqrt[9]{5} x = \sqrt[9]{-5}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*5^1/9 = (-5)^(1/9)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*5^1/9 = -5^1/9

Разделим обе части ур-ния на 5^(1/9)

x = (-5)^(1/9) / (5^(1/9))

Получим ответ: x = (-1)^(1/9)

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{9} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9} + \frac{\pi}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{2} = - \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{3} = - \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{4} = - \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{5} = \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{6} = - \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{7} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{8} = - \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
$$z_{9} = - \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{2} = - \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{3} = - \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{4} = - \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{5} = \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{6} = - \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{7} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{8} = - \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
$$x_{9} = - \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$

Быстрый ответ

          2/pi\      2/pi\
x1 = - cos |--| - sin |--|
           \9 /       \9 /

$$x_{1} = - \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

       /   /pi\    /2*pi\      /2*pi\    /pi\\      /pi\    /2*pi\      /pi\    /2*pi\
x2 = I*|cos|--|*sin|----| + cos|----|*sin|--|| + cos|--|*cos|----| - sin|--|*sin|----|
       \   \9 /    \ 9  /      \ 9  /    \9 //      \9 /    \ 9  /      \9 /    \ 9  /

$$x_{2} = - \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \left(\sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)$$

       /   /2*pi\    /pi\      /pi\    /2*pi\\      /pi\    /2*pi\      /pi\    /2*pi\
x3 = I*|cos|----|*sin|--| - cos|--|*sin|----|| + cos|--|*cos|----| + sin|--|*sin|----|
       \   \ 9  /    \9 /      \9 /    \ 9  //      \9 /    \ 9  /      \9 /    \ 9  /

$$x_{3} = \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \left(- \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right)$$

       /   /pi\    /4*pi\      /4*pi\    /pi\\      /pi\    /4*pi\      /pi\    /4*pi\
x4 = I*|cos|--|*sin|----| + cos|----|*sin|--|| + cos|--|*cos|----| - sin|--|*sin|----|
       \   \9 /    \ 9  /      \ 9  /    \9 //      \9 /    \ 9  /      \9 /    \ 9  /

$$x_{4} = - \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \left(\sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)$$

       /   /4*pi\    /pi\      /pi\    /4*pi\\      /pi\    /4*pi\      /pi\    /4*pi\
x5 = I*|cos|----|*sin|--| - cos|--|*sin|----|| + cos|--|*cos|----| + sin|--|*sin|----|
       \   \ 9  /    \9 /      \9 /    \ 9  //      \9 /    \ 9  /      \9 /    \ 9  /

$$x_{5} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \left(- \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right)$$

          /pi\     /     /pi\     ___    /pi\\     ___    /pi\
       cos|--|     |  sin|--|   \/ 3 *cos|--||   \/ 3 *sin|--|
          \9 /     |     \9 /            \9 /|            \9 /
x6 = - ------- + I*|- ------- + -------------| - -------------
          2        \     2            2      /         2      

$$x_{6} = - \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}\right)$$

          /pi\     /     /pi\     ___    /pi\\     ___    /pi\
       cos|--|     |  sin|--|   \/ 3 *cos|--||   \/ 3 *sin|--|
          \9 /     |     \9 /            \9 /|            \9 /
x7 = - ------- + I*|- ------- - -------------| + -------------
          2        \     2            2      /         2      

$$x_{7} = - \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}\right)$$

          /pi\      /pi\
x8 = I*sin|--| + cos|--|
          \9 /      \9 /

$$x_{8} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

        2/pi\      2/pi\          /pi\    /pi\
x9 = sin |--| - cos |--| - 2*I*cos|--|*sin|--|
         \9 /       \9 /          \9 /    \9 /

$$x_{9} = - \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 0.5 + 0.866025403784439*i

x2 = 0.5 - 0.866025403784439*i

x3 = 0.939692620785908 + 0.342020143325669*i

x4 = -0.766044443118978 - 0.642787609686539*i

x5 = -0.17364817766693 + 0.984807753012208*i

x6 = 0.939692620785908 - 0.342020143325669*i

x7 = -0.17364817766693 - 0.984807753012208*i

x8 = -1.0

x9 = -0.766044443118978 + 0.642787609686539*i

График