sin6(x)=-1 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin6(x)=-1

Вы ввели

   6        
sin (x) = -1

$$\sin^{6}{\left(x \right)} = -1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{6}{\left(x \right)} = -1$$
преобразуем
$$\sin^{6}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\sin^{6}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Дано уравнение
$$w^{6} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = w$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = w$$
$$w = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = - i$$
$$w_{2} = i$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:

Быстрый ответ

           /      ___\
x1 = -I*log\1 + \/ 2 /

$$x_{1} = - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

          /      ___\
x2 = I*log\1 + \/ 2 /

$$x_{2} = i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

               /      ___\
x3 = pi - I*log\1 + \/ 2 /

$$x_{3} = \pi - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

               /      ___\
x4 = pi + I*log\1 + \/ 2 /

$$x_{4} = \pi + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

            /    /  ___    \\       /    /  ___    \\
            |    |\/ 3    I||       |    |\/ 3    I||
x5 = pi - re|asin|----- - -|| - I*im|asin|----- - -||
            \    \  2     2//       \    \  2     2//

$$x_{5} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}$$

              /    /  ___    \\     /    /  ___    \\
              |    |\/ 3    I||     |    |\/ 3    I||
x6 = pi + I*im|asin|----- - -|| + re|asin|----- - -||
              \    \  2     2//     \    \  2     2//

$$x_{6} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}$$

            /    /      ___\\       /    /      ___\\
            |    |I   \/ 3 ||       |    |I   \/ 3 ||
x7 = pi - re|asin|- + -----|| - I*im|asin|- + -----||
            \    \2     2  //       \    \2     2  //

$$x_{7} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}$$

              /    /      ___\\     /    /      ___\\
              |    |I   \/ 3 ||     |    |I   \/ 3 ||
x8 = pi + I*im|asin|- + -----|| + re|asin|- + -----||
              \    \2     2  //     \    \2     2  //

$$x_{8} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}$$

         /    /  ___    \\       /    /  ___    \\
         |    |\/ 3    I||       |    |\/ 3    I||
x9 = - re|asin|----- - -|| - I*im|asin|----- - -||
         \    \  2     2//       \    \  2     2//

$$x_{9} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}$$

          /    /  ___    \\     /    /  ___    \\
          |    |\/ 3    I||     |    |\/ 3    I||
x10 = I*im|asin|----- - -|| + re|asin|----- - -||
          \    \  2     2//     \    \  2     2//

$$x_{10} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}$$

          /    /      ___\\       /    /      ___\\
          |    |I   \/ 3 ||       |    |I   \/ 3 ||
x11 = - re|asin|- + -----|| - I*im|asin|- + -----||
          \    \2     2  //       \    \2     2  //

$$x_{11} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}$$

          /    /      ___\\     /    /      ___\\
          |    |I   \/ 3 ||     |    |I   \/ 3 ||
x12 = I*im|asin|- + -----|| + re|asin|- + -----||
          \    \2     2  //     \    \2     2  //

$$x_{12} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                                                                 /    /  ___    \\       /    /  ___    \\            /    /  ___    \\     /    /  ___    \\          /    /      ___\\       /    /      ___\\            /    /      ___\\     /    /      ___\\       /    /  ___    \\       /    /  ___    \\       /    /  ___    \\     /    /  ___    \\       /    /      ___\\       /    /      ___\\       /    /      ___\\     /    /      ___\\
         /      ___\        /      ___\             /      ___\             /      ___\          |    |\/ 3    I||       |    |\/ 3    I||            |    |\/ 3    I||     |    |\/ 3    I||          |    |I   \/ 3 ||       |    |I   \/ 3 ||            |    |I   \/ 3 ||     |    |I   \/ 3 ||       |    |\/ 3    I||       |    |\/ 3    I||       |    |\/ 3    I||     |    |\/ 3    I||       |    |I   \/ 3 ||       |    |I   \/ 3 ||       |    |I   \/ 3 ||     |    |I   \/ 3 ||
0 - I*log\1 + \/ 2 / + I*log\1 + \/ 2 / + pi - I*log\1 + \/ 2 / + pi + I*log\1 + \/ 2 / + pi - re|asin|----- - -|| - I*im|asin|----- - -|| + pi + I*im|asin|----- - -|| + re|asin|----- - -|| + pi - re|asin|- + -----|| - I*im|asin|- + -----|| + pi + I*im|asin|- + -----|| + re|asin|- + -----|| + - re|asin|----- - -|| - I*im|asin|----- - -|| + I*im|asin|----- - -|| + re|asin|----- - -|| + - re|asin|- + -----|| - I*im|asin|- + -----|| + I*im|asin|- + -----|| + re|asin|- + -----||
                                                                                                 \    \  2     2//       \    \  2     2//            \    \  2     2//     \    \  2     2//          \    \2     2  //       \    \2     2  //            \    \2     2  //     \    \2     2  //       \    \  2     2//       \    \  2     2//       \    \  2     2//     \    \  2     2//       \    \2     2  //       \    \2     2  //       \    \2     2  //     \    \2     2  //

$$\left(\left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) + \left(\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) - \left(- 6 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}\right)\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}\right)$$

=

6*pi

$$6 \pi$$

произведение

                                                                                     /       /    /  ___    \\       /    /  ___    \\\ /         /    /  ___    \\     /    /  ___    \\\ /       /    /      ___\\       /    /      ___\\\ /         /    /      ___\\     /    /      ___\\\ /    /    /  ___    \\       /    /  ___    \\\ /    /    /  ___    \\     /    /  ___    \\\ /    /    /      ___\\       /    /      ___\\\ /    /    /      ___\\     /    /      ___\\\
        /      ___\      /      ___\ /          /      ___\\ /          /      ___\\ |       |    |\/ 3    I||       |    |\/ 3    I||| |         |    |\/ 3    I||     |    |\/ 3    I||| |       |    |I   \/ 3 ||       |    |I   \/ 3 ||| |         |    |I   \/ 3 ||     |    |I   \/ 3 ||| |    |    |\/ 3    I||       |    |\/ 3    I||| |    |    |\/ 3    I||     |    |\/ 3    I||| |    |    |I   \/ 3 ||       |    |I   \/ 3 ||| |    |    |I   \/ 3 ||     |    |I   \/ 3 |||
1*-I*log\1 + \/ 2 /*I*log\1 + \/ 2 /*\pi - I*log\1 + \/ 2 //*\pi + I*log\1 + \/ 2 //*|pi - re|asin|----- - -|| - I*im|asin|----- - -|||*|pi + I*im|asin|----- - -|| + re|asin|----- - -|||*|pi - re|asin|- + -----|| - I*im|asin|- + -----|||*|pi + I*im|asin|- + -----|| + re|asin|- + -----|||*|- re|asin|----- - -|| - I*im|asin|----- - -|||*|I*im|asin|----- - -|| + re|asin|----- - -|||*|- re|asin|- + -----|| - I*im|asin|- + -----|||*|I*im|asin|- + -----|| + re|asin|- + -----|||
                                                                                     \       \    \  2     2//       \    \  2     2/// \         \    \  2     2//     \    \  2     2/// \       \    \2     2  //       \    \2     2  /// \         \    \2     2  //     \    \2     2  /// \    \    \  2     2//       \    \  2     2/// \    \    \  2     2//     \    \  2     2/// \    \    \2     2  //       \    \2     2  /// \    \    \2     2  //     \    \2     2  ///

$$i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)} 1 \left(- i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) \left(\pi - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) \left(\pi + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}\right)$$

=

                                             2                                              2                                                                                                                                                                                                                                                                              
/    /    /      ___\\     /    /      ___\\\  /    /    /  ___    \\     /    /  ___    \\\                                                                  /         /    /      ___\\     /    /      ___\\\ /         /    /  ___    \\     /    /  ___    \\\ /          /    /      ___\\     /    /      ___\\\ /          /    /  ___    \\     /    /  ___    \\\
|    |    |I   \/ 3 ||     |    |I   \/ 3 |||  |    |    |\/ 3    I||     |    |\/ 3    I|||     2/      ___\ /          /      ___\\ /          /      ___\\ |         |    |I   \/ 3 ||     |    |I   \/ 3 ||| |         |    |\/ 3    I||     |    |\/ 3    I||| |          |    |I   \/ 3 ||     |    |I   \/ 3 ||| |          |    |\/ 3    I||     |    |\/ 3    I|||
|I*im|asin|- + -----|| + re|asin|- + -----||| *|I*im|asin|----- - -|| + re|asin|----- - -||| *log \1 + \/ 2 /*\pi + I*log\1 + \/ 2 //*\pi - I*log\1 + \/ 2 //*|pi + I*im|asin|- + -----|| + re|asin|- + -----|||*|pi + I*im|asin|----- - -|| + re|asin|----- - -|||*|-pi + I*im|asin|- + -----|| + re|asin|- + -----|||*|-pi + I*im|asin|----- - -|| + re|asin|----- - -|||
\    \    \2     2  //     \    \2     2  ///  \    \    \  2     2//     \    \  2     2///                                                                  \         \    \2     2  //     \    \2     2  /// \         \    \  2     2//     \    \  2     2/// \          \    \2     2  //     \    \2     2  /// \          \    \  2     2//     \    \  2     2///

$$\left(\pi - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) \left(\pi + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}\right)^{2} \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}\right)^{2} \left(- \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) \left(- \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}\right) \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}^{2}$$

Численный ответ

x1 = -0.881373587019543*i

x2 = 0.881373587019543*i

x3 = 3.14159265358979 - 0.881373587019543*i

x4 = 3.14159265358979 + 0.881373587019543*i

x5 = 2.35619449019234 + 0.658478948462408*i

x6 = 3.92699081698724 - 0.658478948462408*i

x7 = 2.35619449019234 - 0.658478948462408*i

x8 = 3.92699081698724 + 0.658478948462408*i

x9 = -0.785398163397448 + 0.658478948462408*i

x10 = 0.785398163397448 - 0.658478948462408*i

x11 = -0.785398163397448 - 0.658478948462408*i

x12 = 0.785398163397448 + 0.658478948462408*i

График