Решение уравнений/ Любые/ 125-x³=0

125-x³=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: 125-x³=0

    Решение

    Вы ввели [src]
           3    
125 - x  = 0
    $$125 - x^{3} = 0$$
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$125 - x^{3} = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{125}$$
    или
    $$x = 5$$
    Получим ответ: x = 5

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{3} = 125$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{3} e^{3 i p} = 125$$
    где
    $$r = 5$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{3 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = 5$$
    $$z_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
    $$z_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = 5$$
    $$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
    $$x_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
    Быстрый ответ [src]
    x1 = 5
    $$x_{1} = 5$$
                     ___
       5   5*I*\/ 3 
x2 = - - - ---------
       2       2
    $$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
                     ___
       5   5*I*\/ 3 
x3 = - - + ---------
       2       2
    $$x_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                    ___               ___
      5   5*I*\/ 3      5   5*I*\/ 3 
5 + - - - --------- + - - + ---------
      2       2         2       2
    $$\left(5 + \left(- \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
      /            ___\ /            ___\
  |  5   5*I*\/ 3 | |  5   5*I*\/ 3 |
5*|- - - ---------|*|- - + ---------|
  \  2       2    / \  2       2    /
    $$5 \left(- \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
    =
    125
    $$125$$
    Теорема Виета
    перепишем уравнение
    $$125 - x^{3} = 0$$
    из
    $$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
    как приведённое кубическое уравнение
    $$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
    $$x^{3} - 125 = 0$$
    $$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
    где
    $$p = \frac{b}{a}$$
    $$p = 0$$
    $$q = \frac{c}{a}$$
    $$q = 0$$
    $$v = \frac{d}{a}$$
    $$v = -125$$
    Формулы Виета
    $$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
    $$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
    $$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
    $$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
    $$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
    $$x_{1} x_{2} x_{3} = -125$$
    Численный ответ [src]
    x1 = 5.0
    x2 = -2.5 - 4.33012701892219*i
    x3 = -2.5 + 4.33012701892219*i