tg^2x+5tgx+6=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: tg^2x+5tgx+6=0

Вы ввели

   2                      
tan (x) + 5*tan(x) + 6 = 0

$$\tan^{2}{\left(x \right)} + 5 \tan{\left(x \right)} + 6 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\tan^{2}{\left(x \right)} + 5 \tan{\left(x \right)} + 6 = 0$$
преобразуем
$$\tan^{2}{\left(x \right)} + 5 \tan{\left(x \right)} + 6 = 0$$
$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 5 \tan{\left(x \right)} + 6\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 5$$
$$c = 6$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (1) * (6) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = -2$$
Упростить
$$w_{2} = -3$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-3 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

Быстрый ответ

x1 = -atan(2)

$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$

x2 = -atan(3)

$$x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - atan(2) - atan(3)

$$- \operatorname{atan}{\left(3 \right)} - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$

=

-atan(2) - atan(3)

$$- \operatorname{atan}{\left(3 \right)} - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$

произведение

1*-atan(2)*-atan(3)

$$1 \left(- \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right) \left(- \operatorname{atan}{\left(3 \right)}\right)$$

=

atan(2)*atan(3)

$$\operatorname{atan}{\left(2 \right)} \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

Численный ответ

x1 = 17.7424072037447

x2 = -32.523075253692

x3 = 11.4592218965651

x4 = -26.2398899465124

x5 = 36.5919631252834

x6 = -89.0717430183083

x7 = 80.4323632209364

x8 = -57.6558164824104

x9 = -79.7888621121431

x10 = -92.2133356718981

x11 = 20.8839998573345

x12 = -7.39033402497368

x13 = -63.93900178959

x14 = -1.10714871779409

x15 = -60.9393061906043

x16 = -35.6646679072818

x17 = 14.4589174955507

x18 = 36.4500660706793

x19 = 89.9990382363099

x20 = -29.5233796547064

x21 = -57.7977135370145

x22 = -101.638113632667

x23 = -10.5319266785635

x24 = -70.2221870967695

x25 = 64.8662970075916

x26 = 52.2999263932324

x27 = 61.7247043540018

x28 = -16.9570090403472

x29 = -73.3637797503593

x30 = -79.6469650575389

x31 = -95.3549283254879

x32 = -23.0982972929226

x33 = -35.806564961886

x34 = 46.0167410860528

x35 = 5.03413953478133

x36 = 55.4415190468222

x37 = 42.875148432463

x38 = 33.4503704716936

x39 = -29.3814826001022

x40 = 92.9987338352955

x41 = 39.7335557788732

x42 = 68.0078896611814

x43 = 2.0344439357957

x44 = 30.3087778181038

x45 = -82.9304547657329

x46 = -19.9567046393328

x47 = 49.0164366850384

x48 = 14.6008145501549

x49 = 96.2822235434895

x50 = -41.9478532144614

x51 = 74.2910749683609

x52 = -48.231038521641

x53 = -4.24874137138388

x54 = -67.0805944431797

x55 = 8.31762924297529

x56 = 80.5742602755405

x57 = -98.4965209790777

x58 = -54.5142238288206

x59 = 27.0252881099099

x60 = 58.583111700412

x61 = -85.9301503647185

x62 = -76.5053724039491

x63 = -38.9481576154758

x64 = 99.2819191424751

x65 = 71.007585260167

x66 = 83.7158529291303

x67 = -13.6735193321533

x68 = -45.0894458680512

x69 = -51.3726311752308

x70 = 77.2907705673466

x71 = 86.8574455827201

x72 = 24.0255925109243

x73 = 58.4412146458078

График