3*cosx-(cosx)^2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3*cosx-(cosx)^2=0

Вы ввели

              2       
3*cos(x) - cos (x) = 0

$$- \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$- \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0$$
преобразуем
$$\left(3 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 3$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (-1) * (0) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 0$$
Упростить
$$w_{2} = 3$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(3 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(3 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(3 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(3 \right)}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     2 

$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$

     3*pi
x2 = ----
      2  

$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

x3 = 2*pi - I*im(acos(3))

$$x_{3} = 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}$$

x4 = I*im(acos(3)) + re(acos(3))

$$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   3*pi                                                     
0 + -- + ---- + 2*pi - I*im(acos(3)) + I*im(acos(3)) + re(acos(3))
    2     2                                                       

$$\left(\left(\left(0 + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{3 \pi}{2}\right) + \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)$$

=

4*pi + re(acos(3))

$$\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + 4 \pi$$

произведение

  pi 3*pi                                                     
1*--*----*(2*pi - I*im(acos(3)))*(I*im(acos(3)) + re(acos(3)))
  2   2                                                       

$$\frac{3 \pi}{2} \cdot 1 \frac{\pi}{2} \cdot \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)$$

=

    2                                                     
3*pi *(2*pi - I*im(acos(3)))*(I*im(acos(3)) + re(acos(3)))
----------------------------------------------------------
                            4                             

$$\frac{3 \pi^{2} \cdot \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)}{4}$$

Численный ответ

x1 = 64.4026493985908

x2 = -42.4115008234622

x3 = 54.9778714378214

x4 = 70.6858347057703

x5 = -5467.94201357304

x6 = 39.2699081698724

x7 = 76.9690200129499

x8 = -23.5619449019235

x9 = 73.8274273593601

x10 = 95.8185759344887

x11 = -83.2522053201295

x12 = 67.5442420521806

x13 = 1.5707963267949

x14 = -45.553093477052

x15 = 98.9601685880785

x16 = 32.9867228626928

x17 = -54.9778714378214

x18 = 221.48228207808

x19 = 89.5353906273091

x20 = -20.4203522483337

x21 = 61.261056745001

x22 = -7.85398163397448

x23 = 86.3937979737193

x24 = -10.9955742875643

x25 = 14.1371669411541

x26 = -80.1106126665397

x27 = -64.4026493985908

x28 = -17836.3922907561

x29 = -73.8274273593601

x30 = -26.7035375555132

x31 = -14.1371669411541

x32 = 7.85398163397448

x33 = -92.6769832808989

x34 = 29.845130209103

x35 = -67.5442420521806

x36 = 58.1194640914112

x37 = -48.6946861306418

x38 = -76.9690200129499

x39 = -61.261056745001

x40 = -29.845130209103

x41 = 17.2787595947439

x42 = 139.800873084746

x43 = 48.6946861306418

x44 = 45.553093477052

x45 = 42.4115008234622

x46 = 80.1106126665397

x47 = 83.2522053201295

x48 = 10.9955742875643

x49 = -89.5353906273091

x50 = -58.1194640914112

x51 = -39.2699081698724

x52 = -86.3937979737193

x53 = 23.5619449019235

x54 = -17.2787595947439

x55 = 36.1283155162826

x56 = 92.6769832808989

x57 = -95.8185759344887

x58 = -70.6858347057703

x59 = 4.71238898038469

x60 = 51.8362787842316

x61 = -661.305253580651

x62 = -98.9601685880785

x63 = -32.9867228626928

x64 = 20.4203522483337

x65 = -4.71238898038469

x66 = -36.1283155162826

x67 = -1415.2874904422

x68 = 26.7035375555132

x69 = -51.8362787842316

x70 = -1.5707963267949

График