3*x^4=5 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3*x^4=5

Вы ввели

   4    
3*x  = 5

$$3 x^{4} = 5$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$3 x^{4} = 5$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{5}$$
$$\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{5} \left(-1\right)$$
или
$$\sqrt[4]{3} x = \sqrt[4]{5}$$
$$\sqrt[4]{3} x = - \sqrt[4]{5}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*3^1/4 = 5^(1/4)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*3^1/4 = 5^1/4

Разделим обе части ур-ния на 3^(1/4)

x = 5^(1/4) / (3^(1/4))

Получим ответ: x = 3^(3/4)*5^(1/4)/3
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*3^1/4 = -5^(1/4)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*3^1/4 = -5^1/4

Разделим обе части ур-ния на 3^(1/4)

x = -5^(1/4) / (3^(1/4))

Получим ответ: x = -3^(3/4)*5^(1/4)/3
или
$$x_{1} = - \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = \frac{5}{3}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = \frac{5}{3}$$
где
$$r = \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3}$$
$$z_{2} = \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3}$$
$$z_{3} = - \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5} i}{3}$$
$$z_{4} = \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5} i}{3}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5} i}{3}$$
$$x_{4} = \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5} i}{3}$$

Быстрый ответ

       3/4 4 ___ 
     -3   *\/ 5  
x1 = ------------
          3      

$$x_{1} = - \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3}$$

      3/4 4 ___
     3   *\/ 5 
x2 = ----------
         3     

$$x_{2} = \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3}$$

         3/4 4 ___ 
     -I*3   *\/ 5  
x3 = --------------
           3       

$$x_{3} = - \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5} i}{3}$$

        3/4 4 ___
     I*3   *\/ 5 
x4 = ------------
          3      

$$x_{4} = \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5} i}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

     3/4 4 ___    3/4 4 ___      3/4 4 ___      3/4 4 ___
    3   *\/ 5    3   *\/ 5    I*3   *\/ 5    I*3   *\/ 5 
0 - ---------- + ---------- - ------------ + ------------
        3            3             3              3      

$$\left(\left(\left(- \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3} + 0\right) + \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3}\right) - \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5} i}{3}\right) + \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5} i}{3}$$

=

0

$$0$$

произведение

    3/4 4 ___   3/4 4 ___     3/4 4 ___     3/4 4 ___
  -3   *\/ 5   3   *\/ 5  -I*3   *\/ 5   I*3   *\/ 5 
1*------------*----------*--------------*------------
       3           3            3             3      

$$\frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3} \cdot 1 \left(- \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5}}{3}\right) \left(- \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5} i}{3}\right) \frac{3^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{5} i}{3}$$

=

-5/3

$$- \frac{5}{3}$$

Численный ответ

x1 = -1.1362193664675*i

x2 = 1.1362193664675

x3 = 1.1362193664675*i

x4 = -1.1362193664675

График