y=(x-y)^2+1 (уравнение)

Найду корень уравнения: y=(x-y)^2+1

Вы ввели

           2    
y = (x - y)  + 1

$$y = \left(x - y\right)^{2} + 1$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$y = \left(x - y\right)^{2} + 1$$
в
$$y + \left(- \left(x - y\right)^{2} - 1\right) = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$y + \left(- \left(x - y\right)^{2} - 1\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- x^{2} + 2 x y - y^{2} + y - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*y^2 + b*y + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$y_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$y_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 2 x + 1$$
$$c = - x^{2} - 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1 + 2*x)^2 - 4 * (-1) * (-1 - x^2) = -4 + (1 + 2*x)^2 - 4*x^2

Уравнение имеет два корня.

y1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

y2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$y_{1} = x - \frac{\sqrt{- 4 x^{2} + \left(2 x + 1\right)^{2} - 4}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$y_{2} = x + \frac{\sqrt{- 4 x^{2} + \left(2 x + 1\right)^{2} - 4}}{2} + \frac{1}{2}$$

Быстрый ответ

           /     _____________________________                                          \      _____________________________                                          
           |  4 /               2        2        /atan2(4*im(x), -3 + 4*re(x))\        |   4 /               2        2        /atan2(4*im(x), -3 + 4*re(x))\        
           |  \/  (-3 + 4*re(x))  + 16*im (x) *sin|----------------------------|        |   \/  (-3 + 4*re(x))  + 16*im (x) *cos|----------------------------|        
     1     |                                      \             2              /        |                                       \             2              /        
y1 = - + I*|- ------------------------------------------------------------------ + im(x)| - ------------------------------------------------------------------ + re(x)
     2     \                                  2                                         /                                   2                                         

$$y_{1} = i \left(- \frac{\sqrt[4]{\left(4 \operatorname{re}{\left(x\right)} - 3\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(4 \operatorname{im}{\left(x\right)},4 \operatorname{re}{\left(x\right)} - 3 \right)}}{2} \right)}}{2} + \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) - \frac{\sqrt[4]{\left(4 \operatorname{re}{\left(x\right)} - 3\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(4 \operatorname{im}{\left(x\right)},4 \operatorname{re}{\left(x\right)} - 3 \right)}}{2} \right)}}{2} + \operatorname{re}{\left(x\right)} + \frac{1}{2}$$

           /   _____________________________                                          \      _____________________________                                          
           |4 /               2        2        /atan2(4*im(x), -3 + 4*re(x))\        |   4 /               2        2        /atan2(4*im(x), -3 + 4*re(x))\        
           |\/  (-3 + 4*re(x))  + 16*im (x) *sin|----------------------------|        |   \/  (-3 + 4*re(x))  + 16*im (x) *cos|----------------------------|        
     1     |                                    \             2              /        |                                       \             2              /        
y2 = - + I*|------------------------------------------------------------------ + im(x)| + ------------------------------------------------------------------ + re(x)
     2     \                                2                                         /                                   2                                         

$$y_{2} = i \left(\frac{\sqrt[4]{\left(4 \operatorname{re}{\left(x\right)} - 3\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(4 \operatorname{im}{\left(x\right)},4 \operatorname{re}{\left(x\right)} - 3 \right)}}{2} \right)}}{2} + \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) + \frac{\sqrt[4]{\left(4 \operatorname{re}{\left(x\right)} - 3\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(4 \operatorname{im}{\left(x\right)},4 \operatorname{re}{\left(x\right)} - 3 \right)}}{2} \right)}}{2} + \operatorname{re}{\left(x\right)} + \frac{1}{2}$$