81^(x-4)=1/3 (уравнение)

Найду корень уравнения: 81^(x-4)=1/3

Вы ввели

  x - 4      
81      = 1/3

$$81^{x - 4} = \frac{1}{3}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$81^{x - 4} = \frac{1}{3}$$
или
$$81^{x - 4} - \frac{1}{3} = 0$$
или
$$\frac{81^{x}}{43046721} = \frac{1}{3}$$
или
$$81^{x} = 14348907$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 81^{x}$$
получим
$$v - 14348907 = 0$$
или
$$v - 14348907 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 14348907$$
Получим ответ: v = 14348907
делаем обратную замену
$$81^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(81 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(14348907 \right)}}{\log{\left(81 \right)}} = \frac{15}{4}$$

Быстрый ответ

x1 = 15/4

$$x_{1} = \frac{15}{4}$$

     log(14348907)     pi*I  
x2 = ------------- - --------
        4*log(3)     2*log(3)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(14348907 \right)}}{4 \log{\left(3 \right)}} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(3 \right)}}$$

     log(14348907)     pi*I  
x3 = ------------- + --------
        4*log(3)     2*log(3)

$$x_{3} = \frac{\log{\left(14348907 \right)}}{4 \log{\left(3 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(3 \right)}}$$

     15    pi*I 
x4 = -- + ------
     4    log(3)

$$x_{4} = \frac{15}{4} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           log(14348907)     pi*I     log(14348907)     pi*I     15    pi*I 
0 + 15/4 + ------------- - -------- + ------------- + -------- + -- + ------
              4*log(3)     2*log(3)      4*log(3)     2*log(3)   4    log(3)

$$\left(\left(\left(0 + \frac{15}{4}\right) + \left(\frac{\log{\left(14348907 \right)}}{4 \log{\left(3 \right)}} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(3 \right)}}\right)\right) + \left(\frac{\log{\left(14348907 \right)}}{4 \log{\left(3 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(3 \right)}}\right)\right) + \left(\frac{15}{4} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$

=

15   log(14348907)    pi*I 
-- + ------------- + ------
2       2*log(3)     log(3)

$$\frac{15}{2} + \frac{\log{\left(14348907 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$

произведение

       /log(14348907)     pi*I  \ /log(14348907)     pi*I  \ /15    pi*I \
1*15/4*|------------- - --------|*|------------- + --------|*|-- + ------|
       \   4*log(3)     2*log(3)/ \   4*log(3)     2*log(3)/ \4    log(3)/

$$1 \cdot \frac{15}{4} \left(\frac{\log{\left(14348907 \right)}}{4 \log{\left(3 \right)}} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(3 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(14348907 \right)}}{4 \log{\left(3 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(3 \right)}}\right) \left(\frac{15}{4} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$

=

15*(-2*pi*I + log(14348907))*(2*pi*I + log(14348907))*(4*pi*I + log(14348907))
------------------------------------------------------------------------------
                                        3                                     
                                 256*log (3)                                  

$$\frac{15 \left(\log{\left(14348907 \right)} - 2 i \pi\right) \left(\log{\left(14348907 \right)} + 2 i \pi\right) \left(\log{\left(14348907 \right)} + 4 i \pi\right)}{256 \log{\left(3 \right)}^{3}}$$

Численный ответ

x1 = 3.75

x2 = 3.75 - 1.42980043369006*i

x3 = 3.75 + 1.42980043369006*i

x4 = 3.75 + 2.85960086738013*i

График