8^x-2^x=60 (уравнение)

Найду корень уравнения: 8^x-2^x=60

Вы ввели

 x    x     
8  - 2  = 60

$$- 2^{x} + 8^{x} = 60$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$- 2^{x} + 8^{x} = 60$$
или
$$\left(- 2^{x} + 8^{x}\right) - 60 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{3} - v - 60 = 0$$
или
$$v^{3} - v - 60 = 0$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{\log{\left(-2 - \sqrt{11} i \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(\frac{\log{\left(-2 - \sqrt{11} i \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{3} = \frac{\log{\left(\frac{\log{\left(-2 + \sqrt{11} i \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(\frac{\log{\left(-2 + \sqrt{11} i \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

                     /          /  ____\\
                     |          |\/ 11 ||
        /  ____\   I*|-pi + atan|------||
     log\\/ 15 /     \          \  2   //
x2 = ----------- + ----------------------
        log(2)             log(2)        

$$x_{2} = \frac{\log{\left(\sqrt{15} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{2} \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}}$$

                     /         /  ____\\
                     |         |\/ 11 ||
        /  ____\   I*|pi - atan|------||
     log\\/ 15 /     \         \  2   //
x3 = ----------- + ---------------------
        log(2)             log(2)       

$$x_{3} = \frac{\log{\left(\sqrt{15} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{2} \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    /          /  ____\\                   /         /  ____\\
                    |          |\/ 11 ||                   |         |\/ 11 ||
       /  ____\   I*|-pi + atan|------||      /  ____\   I*|pi - atan|------||
    log\\/ 15 /     \          \  2   //   log\\/ 15 /     \         \  2   //
2 + ----------- + ---------------------- + ----------- + ---------------------
       log(2)             log(2)              log(2)             log(2)       

$$\left(2 + \left(\frac{\log{\left(\sqrt{15} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{2} \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)\right) + \left(\frac{\log{\left(\sqrt{15} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{2} \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

                      /         /  ____\\     /          /  ____\\
                      |         |\/ 11 ||     |          |\/ 11 ||
         /  ____\   I*|pi - atan|------||   I*|-pi + atan|------||
    2*log\\/ 15 /     \         \  2   //     \          \  2   //
2 + ------------- + --------------------- + ----------------------
        log(2)              log(2)                  log(2)        

$$2 + \frac{2 \log{\left(\sqrt{15} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{2} \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{2} \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

  /                /          /  ____\\\ /                /         /  ____\\\
  |                |          |\/ 11 ||| |                |         |\/ 11 |||
  |   /  ____\   I*|-pi + atan|------||| |   /  ____\   I*|pi - atan|------|||
  |log\\/ 15 /     \          \  2   //| |log\\/ 15 /     \         \  2   //|
2*|----------- + ----------------------|*|----------- + ---------------------|
  \   log(2)             log(2)        / \   log(2)             log(2)       /

$$2 \left(\frac{\log{\left(\sqrt{15} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{2} \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(\sqrt{15} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{2} \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

                          /  ____\            /  ____\
   2           2         2|\/ 11 |            |\/ 11 |
log (15) + 4*pi  + 4*atan |------| - 8*pi*atan|------|
                          \  2   /            \  2   /
------------------------------------------------------
                           2                          
                      2*log (2)                       

$$\frac{- 8 \pi \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{2} \right)} + 4 \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{11}}{2} \right)} + \log{\left(15 \right)}^{2} + 4 \pi^{2}}{2 \log{\left(2 \right)}^{2}}$$

Численный ответ

x1 = 2.0

x2 = 1.95344529780426 - 3.04904281272161*i

x3 = 1.95344529780426 + 3.04904281272161*i

График