x⁴-3x²=82 (уравнение)

Найду корень уравнения: x⁴-3x²=82

Вы ввели

 4      2     
x  - 3*x  = 82

$$x^{4} - 3 x^{2} = 82$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} - 3 x^{2} = 82$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 3 v - 82 = 0$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{4} - 3 x^{2} = 82$$
в
$$v^{2} - 3 v - 82 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = -82$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (-82) = 337

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{337}}{2}$$
$$v_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{337}}{2}$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{337}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{337}}{2}}$$
$$x_{2} = $$
$$\frac{\left(-1\right) \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{337}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{337}}{2}}$$
$$x_{3} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{337}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{337}}{2}}$$
$$x_{4} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{337}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{337}}{2}}$$

Быстрый ответ

           _____________
          /       _____ 
         /  3   \/ 337  
x1 = -  /   - + ------- 
      \/    2      2    

$$x_{1} = - \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{337}}{2}}$$

          _____________
         /       _____ 
        /  3   \/ 337  
x2 =   /   - + ------- 
     \/    2      2    

$$x_{2} = \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{337}}{2}}$$

             _______________
            /         _____ 
           /    3   \/ 337  
x3 = -I*  /   - - + ------- 
        \/      2      2    

$$x_{3} = - i \sqrt{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{337}}{2}}$$

            _______________
           /         _____ 
          /    3   \/ 337  
x4 = I*  /   - - + ------- 
       \/      2      2    

$$x_{4} = i \sqrt{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{337}}{2}}$$

Численный ответ

x1 = 3.26784024630074

x2 = -3.26784024630074

x3 = 2.77106114608518*i

x4 = -2.77106114608518*i

График