x⁴+x²=2 (уравнение)

Найду корень уравнения: x⁴+x²=2

Вы ввели

 4    2    
x  + x  = 2

$$x^{4} + x^{2} = 2$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} + x^{2} = 2$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} + v - 2 = 0$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{4} + x^{2} = 2$$
в
$$v^{2} + v - 2 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-2) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 1$$
Упростить
$$v_{2} = -2$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\left(-1\right) 1^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = -1$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(-2\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{2} i$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-2\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{2} i$$

Быстрый ответ

x1 = -1

$$x_{1} = -1$$

x2 = 1

$$x_{2} = 1$$

          ___
x3 = -I*\/ 2 

$$x_{3} = - \sqrt{2} i$$

         ___
x4 = I*\/ 2 

$$x_{4} = \sqrt{2} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                ___       ___
0 - 1 + 1 - I*\/ 2  + I*\/ 2 

$$\left(\left(\left(-1 + 0\right) + 1\right) - \sqrt{2} i\right) + \sqrt{2} i$$

=

0

$$0$$

произведение

            ___     ___
1*-1*1*-I*\/ 2 *I*\/ 2 

$$\sqrt{2} i 1 \left(-1\right) 1 \left(- \sqrt{2} i\right)$$

=

-2

$$-2$$

Численный ответ

x1 = -1.4142135623731*i

x2 = -1.0

x3 = 1.4142135623731*i

x4 = 1.0

График