Решение уравнений/ Любые/ (x-4)^4-4*(x-4)^2-20=0

(x-4)^4-4*(x-4)^2-20=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: (x-4)^4-4*(x-4)^2-20=0

    Решение

    Вы ввели [src]
           4            2         
(x - 4)  - 4*(x - 4)  - 20 = 0
    $$\left(\left(x - 4\right)^{4} - 4 \left(x - 4\right)^{2}\right) - 20 = 0$$
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    $$\left(\left(x - 4\right)^{4} - 4 \left(x - 4\right)^{2}\right) - 20 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = \left(x - 4\right)^{2}$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$v^{2} - 4 v - 20 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -4$$
    $$c = -20$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-4)^2 - 4 * (1) * (-20) = 96

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$v_{1} = 2 + 2 \sqrt{6}$$
    Упростить
    $$v_{2} = 2 - 2 \sqrt{6}$$
    Упростить
    Получаем окончательный ответ:
    Т.к.
    $$v = \left(x - 4\right)^{2}$$
    то
    $$x_{1} = \sqrt{v_{1}} + 4$$
    $$x_{2} = 4 - \sqrt{v_{1}}$$
    $$x_{3} = \sqrt{v_{2}} + 4$$
    $$x_{4} = 4 - \sqrt{v_{2}}$$
    тогда:
    $$x_{1} = $$
    $$\frac{\left(2 + 2 \sqrt{6}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{4}{1} = \sqrt{2 + 2 \sqrt{6}} + 4$$
    $$x_{2} = $$
    $$\frac{\left(-1\right) \left(2 + 2 \sqrt{6}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{4}{1} = 4 - \sqrt{2 + 2 \sqrt{6}}$$
    $$x_{3} = $$
    $$\frac{4}{1} + \frac{\left(2 - 2 \sqrt{6}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 4 + \sqrt{2 - 2 \sqrt{6}}$$
    $$x_{4} = $$
    $$\frac{4}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(2 - 2 \sqrt{6}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 4 - \sqrt{2 - 2 \sqrt{6}}$$
    Быстрый ответ [src]
                      ___________
           ___   /       ___ 
x1 = 4 - \/ 2 *\/  1 + \/ 6
    $$x_{1} = - \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{6}} + 4$$
                      ___________
           ___   /       ___ 
x2 = 4 + \/ 2 *\/  1 + \/ 6
    $$x_{2} = \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{6}} + 4$$
                        ____________
             ___   /        ___ 
x3 = 4 - I*\/ 2 *\/  -1 + \/ 6
    $$x_{3} = 4 - \sqrt{2} i \sqrt{-1 + \sqrt{6}}$$
                        ____________
             ___   /        ___ 
x4 = 4 + I*\/ 2 *\/  -1 + \/ 6
    $$x_{4} = 4 + \sqrt{2} i \sqrt{-1 + \sqrt{6}}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                 ___________                ___________                  ____________                  ____________
      ___   /       ___          ___   /       ___            ___   /        ___            ___   /        ___ 
4 - \/ 2 *\/  1 + \/ 6   + 4 + \/ 2 *\/  1 + \/ 6   + 4 - I*\/ 2 *\/  -1 + \/ 6   + 4 + I*\/ 2 *\/  -1 + \/ 6
    $$\left(\left(\left(- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{6}} + 4\right) + \left(\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{6}} + 4\right)\right) + \left(4 - \sqrt{2} i \sqrt{-1 + \sqrt{6}}\right)\right) + \left(4 + \sqrt{2} i \sqrt{-1 + \sqrt{6}}\right)$$
    =
    16
    $$16$$
    произведение
    /             ___________\ /             ___________\ /               ____________\ /               ____________\
|      ___   /       ___ | |      ___   /       ___ | |        ___   /        ___ | |        ___   /        ___ |
\4 - \/ 2 *\/  1 + \/ 6  /*\4 + \/ 2 *\/  1 + \/ 6  /*\4 - I*\/ 2 *\/  -1 + \/ 6  /*\4 + I*\/ 2 *\/  -1 + \/ 6  /
    $$\left(- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{6}} + 4\right) \left(\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{6}} + 4\right) \left(4 - \sqrt{2} i \sqrt{-1 + \sqrt{6}}\right) \left(4 + \sqrt{2} i \sqrt{-1 + \sqrt{6}}\right)$$
    =
    172
    $$172$$
    Численный ответ [src]
    x1 = 1.37340915147289
    x2 = 6.62659084852711
    x3 = 4.0 - 1.70263897687277*i
    x4 = 4.0 + 1.70263897687277*i