(x-2)⁴+3(x-2)²-10=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-2)⁴+3(x-2)²-10=0

Вы ввели

       4            2         
(x - 2)  + 3*(x - 2)  - 10 = 0

$$\left(x - 2\right)^{4} + 3 \left(x - 2\right)^{2} - 10 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(x - 2\right)^{4} + 3 \left(x - 2\right)^{2} - 10 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(x - 2\right)^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} + 3 v - 10 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 3$$
$$c = -10$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (1) * (-10) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 2$$
Упростить
$$v_{2} = -5$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = \left(x - 2\right)^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}} + 2$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}} + 2$$
$$x_{4} = 2 - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{2}{1} = \sqrt{2} + 2$$
$$x_{2} = \frac{\left(-1\right) 2^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{2}{1} = 2 - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \frac{2}{1} + \frac{1 \left(-5\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 2 + \sqrt{5} i$$
$$x_{4} = \frac{2}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-5\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 2 - \sqrt{5} i$$

Быстрый ответ

           ___
x1 = 2 - \/ 2 

$$x_{1} = 2 - \sqrt{2}$$

           ___
x2 = 2 + \/ 2 

$$x_{2} = \sqrt{2} + 2$$

             ___
x3 = 2 - I*\/ 5 

$$x_{3} = 2 - \sqrt{5} i$$

             ___
x4 = 2 + I*\/ 5 

$$x_{4} = 2 + \sqrt{5} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ___         ___           ___           ___
0 + 2 - \/ 2  + 2 + \/ 2  + 2 - I*\/ 5  + 2 + I*\/ 5 

$$\left(\left(\left(0 + \left(2 - \sqrt{2}\right)\right) + \left(\sqrt{2} + 2\right)\right) + \left(2 - \sqrt{5} i\right)\right) + \left(2 + \sqrt{5} i\right)$$

=

8

$$8$$

произведение

  /      ___\ /      ___\ /        ___\ /        ___\
1*\2 - \/ 2 /*\2 + \/ 2 /*\2 - I*\/ 5 /*\2 + I*\/ 5 /

$$1 \cdot \left(2 - \sqrt{2}\right) \left(\sqrt{2} + 2\right) \left(2 - \sqrt{5} i\right) \left(2 + \sqrt{5} i\right)$$

=

18

$$18$$

Численный ответ

x1 = 2.0 + 2.23606797749979*i

x2 = 3.41421356237309

x3 = 0.585786437626905

x4 = 2.0 - 2.23606797749979*i

График