(x-1)^4-2(x-1)^2-3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-1)^4-2(x-1)^2-3=0

Вы ввели

       4            2        
(x - 1)  - 2*(x - 1)  - 3 = 0

$$\left(\left(x - 1\right)^{4} - 2 \left(x - 1\right)^{2}\right) - 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(\left(x - 1\right)^{4} - 2 \left(x - 1\right)^{2}\right) - 3 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(x - 1\right)^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 2 v - 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (-3) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 3$$
Упростить
$$v_{2} = -1$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = \left(x - 1\right)^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}} + 1$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}} + 1$$
$$x_{4} = 1 - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = $$
$$1^{-1} + \frac{3^{\frac{1}{2}}}{1} = 1 + \sqrt{3}$$
$$x_{2} = $$
$$\frac{\left(-1\right) 3^{\frac{1}{2}}}{1} + 1^{-1} = 1 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = $$
$$1^{-1} + \frac{\left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 1 + i$$
$$x_{4} = $$
$$1^{-1} + \frac{\left(-1\right) \left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 1 - i$$

Быстрый ответ

           ___
x1 = 1 - \/ 3 

$$x_{1} = 1 - \sqrt{3}$$

           ___
x2 = 1 + \/ 3 

$$x_{2} = 1 + \sqrt{3}$$

x3 = 1 - I

$$x_{3} = 1 - i$$

x4 = 1 + I

$$x_{4} = 1 + i$$

Сумма и произведение корней

сумма

      ___         ___                
1 - \/ 3  + 1 + \/ 3  + 1 - I + 1 + I

$$\left(\left(\left(1 - \sqrt{3}\right) + \left(1 + \sqrt{3}\right)\right) + \left(1 - i\right)\right) + \left(1 + i\right)$$

=

4

$$4$$

произведение

/      ___\ /      ___\                
\1 - \/ 3 /*\1 + \/ 3 /*(1 - I)*(1 + I)

$$\left(1 - \sqrt{3}\right) \left(1 + \sqrt{3}\right) \left(1 - i\right) \left(1 + i\right)$$

=

-4

$$-4$$

Численный ответ

x1 = -0.732050807568877

x2 = 1.0 + 1.0*i

x3 = 1.0 - 1.0*i

x4 = 2.73205080756888

График