(x-1)^3=8 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-1)^3=8

Вы ввели

       3    
(x - 1)  = 8

$$\left(x - 1\right)^{3} = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x - 1\right)^{3} = 8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x - 1\right)^{3}} = \sqrt[3]{8}$$
или
$$x - 1 = 2$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 3$$
Получим ответ: x = 3

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 1$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 8$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x - 1$$
$$x = z + 1$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = 3

$$x_{1} = 3$$

          ___
x2 = -I*\/ 3 

$$x_{2} = - \sqrt{3} i$$

         ___
x3 = I*\/ 3 

$$x_{3} = \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ___       ___
0 + 3 - I*\/ 3  + I*\/ 3 

$$\left(\left(0 + 3\right) - \sqrt{3} i\right) + \sqrt{3} i$$

=

3

$$3$$

произведение

         ___     ___
1*3*-I*\/ 3 *I*\/ 3 

$$\sqrt{3} i 1 \cdot 3 \left(- \sqrt{3} i\right)$$

=

9

$$9$$

Численный ответ

x1 = -1.73205080756888*i

x2 = 1.73205080756888*i

x3 = 3.0

График